Dette hovedafsnit indeholder fem eksempler på undervisningsforløb. Beskrivelserne er eksemplariske i den forstand, at der først og fremmest er lagt vægt på den fagligpædagogiske tankegang. Denne tankegang vil kunne overføres til andre emnefaglige valg og andre klassetrin. Der er eksempler af tre typer:

• Forløb, der går over flere år
• Forløb, der varer i en længere periode
• Korte forløb

Hensigten med beskrivelsen er først og fremmest at illustrere, hvordan en klasse kan arbejde med udvikling af metoder til multiplikation – set over flere år.

Forskellige trinmål vedrørende kompetencer og arbejdsmåder kan kobles til dette emne. Modellen herunder viser i stikordsform et eksempel på trinmål, der kan kobles til emnet:

Udgangspunktet for arbejdet med multiplikation er de erfaringer, eleverne har med sig hjemmefra, og de erfaringer, de har fået gennem deres arbejde i skolen. Eleverne kan fx forbinde multiplikation med gentagen addition, med spring på en tallinje, med arealet af et rektangel, med forskellige hverdagssituationer eller med opdigtede regnehistorier.

Når eleverne udnytter disse repræsentationer i forbindelse med problemstillinger, der vedrører multiplikation, kan man opleve, at de opdager små “fiduser og genveje” – egne strategier – til beregningerne.

Eksempel:

“Hvad koster 4 liter mælk á 6 kr. tilsammen? Jeg kan huske, at 2 · 6 er
12… Jeg forestiller mig tallinjen… 18…24.”, sagde én.

Nogle af elevernes egne strategier kan gøres til genstand for klassens undersøgelser.

Eksempel:

Jonathan: “8 · 5? Jeg har lige regnet 4 · 5 ved at lægge sammen,
5+5+5+5. Det var 20…”

“Bliver 8 · 5 så ikke dobbelt så meget?” sagde en anden.

Lærer: “Jonathan spørger, om 8 · 5 er dobbelt så meget som 4 · 5. Har
han ret? Hvorfor? Gælder det også andre gange? Altid?”

Eleverne har med de forskellige repræsentationsformer, de har kendskab til, forskellige muligheder for at undersøge lærerens spørgsmål – og forskellige muligheder for at argumentere for deres opfattelser.

Eksempler:

“Den ene firkant er jo dobbelt så stor som den anden… Så må 8 · 5 også være dobbelt så stor som 4 · 5!”
“Ja, for når man lægger 5 sammen 4 gange, så plusser man det jo halvt så mange gange, som hvis man lægger sammen 8 gange… Derfor er det dobbelt så stort!”
“Sådan vil det jo altid være, hvis det ene tal i to gangestykker er ens – og hvis det andet tal er dobbelt så stort…”

For at udvikle hensigtsmæssige metoder til multiplikation med tal, der rækker ud over den lille tabel, er det nødvendigt, at eleverne har indsigt i multiplikation med tiere og hundreder. En sådan indsigt kan fx opnås ved at lade eleverne undersøge sammenhænge inden for multiplikation med brug af lommeregner:

3 ∙ 10 =         3 ∙ 100 =             3 ∙ 4 =         3 ∙ 40 =
5 ∙ 10 =         5 ∙ 100 =             2 ∙ 6 =         2 ∙ 60 =
8 ∙ 10 =         8 ∙ 100 =             5 ∙ 3 =         5 ∙ 30 =
2 ∙ 10 =         2 ∙ 100 =             7 ∙ 2 =         7 ∙ 20 =

Efterfølgende kan eleverne fortælle om deres opdagelser i klassen. Læreren har i den forbindelse mulighed for at konkludere og præcisere elevernes sprogbrug.

Udviklingen af metoder til multiplikation med “større tal” kan fx indledes med, at eleverne undersøger antallet af kvadrater i et rektangel som det, der er vist herunder. Antallet af kvadrater svarer til resultatet af 15 ∙ 18. Eleverne må selv bestemme, hvordan de finder det samlede antal – måske er det en fordel for dem at dele rektanglet op i mindre dele.

På næste side vises et par eksempler fra elever, der har arbejdet med opgaven

Ved at lade nogle af eleverne præsentere deres arbejde for hinanden gives der mulighed for, at de “sætter ord på deres tænkning” – hvilket gør tanken stærkere. Der gives også mulighed for, at eleverne lader sig inspirere af hinandens løsningsstrategier. Generelt giver sådanne præsentationer mulighed for at arbejde med elevernes kommunikationskompetence.

Den næste “trædesten” i arbejdet kan være et opgaveark af samme type, hvor der sættes særligt fokus på, at eleverne skal dele rektanglet op, så det bliver så let som muligt for dem at beregne resultatet af gangestykket.

Emils arbejde med "Gange 2"

Evas arbejde med "Gange 2"

Heidis arbejde med "Gange 2"

Her er vist et par eksempler fra elever, der har arbejdet med 14 ∙ 21:

Lucas' arbejde med "Gange 2"

Bjørns arbejde med "Gange 2"

Bjørns løsningsmetode, der er vist herover til højre, rummer grundlæggende en struktur, som kan genkendes fra de fleste standardiserede algoritmer til multiplikation. Løsningsmetoden rummer få mellemregninger, der kan klares med kendskab til multiplikation med tiere og hundreder og til den lille tabel.

Læreren kan give eleverne mulighed for at bruge denne metode ved at vise den med forskellige eksempler. Eleverne kan i en periode vælge, om de vil bruge denne metode – eller deres egen opdeling.

Ved at illustrere gangestykker som rektangler på ternet papir kan eleverne – evt. på forskellige måder – regne multiplikationsopgaver med “større tal”. Næste “trædesten” kan være at opfordre eleverne til at klare beregningerne uden brug af det ternede papir. Resultatet kan fx være som vist herunder:

Cecilie regner 12 ∙ 37

Mikkel regner 12 ∙ 37

På dette tidspunkt har Cecilie og Mikkel, der har regnet opgaverne herover, således opnået en metode, der gør dem i stand til at klare multiplikation med “større tal”. I denne metode støtter eleverne sig op ad en billedlig repræsentationsform.

Læreren kan vælge at lade eleverne prøve kræfter med en ren symbolrepræsentation med henblik på at lade eleverne udvikle deres symbolbehandlingskompetence.

Eleverne kan opfordres til at undlade tegningen, hvis de kan undvære den. Resultatet af denne opfordring kan fx se ud som vist herunder. Illustrationen er en elevs noter til beregningen af 25 ∙ 24:

For nogle elever kan det i denne fase være en fordel at få hjælp til at skrive mellemregningerne på en mere overskuelig måde, fx:

        15 ∙ 18 
             100 
               50 
               80 
               40 
             270     

Sammenfatning
Undervisningseksemplet viser, hvordan elevernes deltagelse i udviklingen af metoder til fx multiplikation kan planlægges med fokus på en række “trædesten”, der fx kan være:

• Løs gangestykker ved at tælle tern.
• Lav en opdeling, der gør det lettere at bestemme antallet af tern.
• Lav den opdeling, der er mest hensigtsmæssig.
• Løs gangestykker ved at tegne på ternet papir.
• Løs gangestykker ved at tegne på blankt papir.
• Løs gangestykker ud fra tallene alene.

Bemærk, at elevernes færdigheder spiller en central rolle i denne progression. Det vil være en styrke for eleverne, hvis de både arbejder med automatisering af den lille tabel og med indblik i at gange med tiere og hundreder sideløbende med deres udvikling af metoder til multiplikation.

Slutmålet for elevernes arbejde med matematisk modellering lyder således:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at udføre matematisk modellering og afkode, tolke, analysere og vurdere matematiske modeller.

Arbejdet frem mod dette slutmål omfatter både indskoling, mellemtrin og sluttrin. Spørgsmålet er, hvordan arbejdet frem mod slutmålet kan se ud, når vi taler konkret undervisning i indskolingen? Den følgende beskrivelse af et undervisningsforløb kan give ét ud af mange forskellige svar på dette spørgsmål. Forløbet er gennemført i en 2. klasse.

I planlægningen har lærerne to grundovervejelser. De ønsker på den ene side at gennemføre et længere, tværfagligt forløb, hvor matematik bidrager med de vigtigste faglige vinkler, og på anden side ønsker de, at eleverne skal have mulighed for at reflektere over sammenhængen mellem et stykke virkelighed og de matematiske modeller, som eleverne bruger til at beskrive denne virkelighed med. Lærerne sætter på den måde bl.a. elevernes modelleringskompetence i fokus.

Set i forhold til Fælles Mål kan målene med forløbet i stik ordsform derfor beskrives sådan:

Forløbet strækker sig over to uger med omkring otte lektioner pr. uge. Alt det praktiske arbejde foregår i billedkunstlokalet. Lærerteamet har bestemt, at arbejdet skal handle om at lave modeller af skolegården, hvor det er elevernes tanker og drømme, der er i fokus. I dette
eksempel er der altså tales om fysiske modeller. Det skal understreges, at modellering i indskolingen ikke nødvendigvis vedrører fysiske modeller. Modelleringsarbejdet kan i andre forløb lige så vel føre til fx regneudtryk, diagrammer eller tegninger.

Skolegården trænger til fornyelse. Den har ingen legeredskaber eller steder, hvor man kan gemme sig og være alene. Skolegården er delt op i to dele – “Store gård” og “Stille gård”. “Store gård” til de mere voldsomme lege som fx boldspil og fangelege. “Stille gård” er et sted, hvor man kan hygge sig. “Stille gård” er delt op på langs af en beskyttelsesbunker med jord ovenpå.

Inden klassen går i gang med arbejdet, har de allerede arbejdet med “set fra oven”-tegninger. Eleverne har opmålt og tegnet klasseværelset “set fra oven”, og de har tegnet inventar på tegningen, så godt det kan lade sig gøre. Lærerne har introduceret en tændstik som en miniatureudgave af en meterstok, så eleverne kan bruge den til at tegne tingene i det rette målestoksforhold på tegningen.

Idéfase
Selve skolegårdsforløbet begynder med en idéfase, hvor eleverne kommer med idéer til, hvilke funktioner en legeplads skal have. Tavlen er delt i to dele. På den ene del skal eleverne komme med forslag til, hvad man skal kunne lave i en skolegård (fysisk rum), og på den anden skal eleverne komme med forslag til, hvordan man kan have det i en skolegård (psykisk rum).

Eleverne i 2. klasse har som de vigtigste forslag, at de skal kunne spille bold og lege fangelege, men også, at der skal være plads til at hygge sig nogle få sammen eller alene.

Lærerne har på forhånd målt skolegårdene op og tegnet dem i et passende målestoksforhold på A2- papir. Samtidig har de lavet målepinde af lister i 10 mm bredde og tilpasset målestoksforholdet, så de svarer til 10 m og underdelt i 1/10 “meter”. På den måde har eleverne hele tiden en fornemmelse af, hvordan deres tegnede model passer med virkelighedens verden, hvilket er et af hovedformålene
med forløbet.

Når eleverne diskuterer størrelsen af en ting, kan de hurtigt måle efter med en rigtig meterstok for at se, om det matcher deres idéer om størrelsen af fx et legestativ.

Det er svært for nogle af eleverne i 2.klasse at se den tredimensionelle virkelighed i en tegning i to dimensioner og flere har lyst til at folde legeredskaberne ud i 3 dimensioner. Spørgsmål om, hvad man kan se på en “set fra oven”-tegning, melder sig automatisk.

“Hvordan kan man finde ud af, hvor højt klatrestativet er?”

“Hvordan kan vi tegne, så man kan se skolegården fra flere sider?”.

Hele tiden gør elever og lærere sig tanker om modellens anvendelighed i forhold til det stykke virkelighed, de ønsker at beskrive.

Arbejdsfasen
Eleverne har på forhånd medbragt ispinde, dåser, paprør, emballage og andre “gamle sager”.

Herefter begynder arbejdsfasen, hvor eleverne skal få deres tegnede model af skolegården til at udfolde sig i et tredimensionelt univers. Ikke nogen let opgave for en elev i anden klasse.

Børnene bliver delt ind i grupper på 3-4 børn, og udstyret med hammer, søm og limpistol går de i gang med at lave modeller af skolegården på 9 mm spånplade. Undervejs melder spørgsmål om sammenhængen mellem model og virkelighed sig hele tiden.

“Hvor stort skal fodboldmålet være på modellen? Hvor stort er det i virkeligheden?”

Børnene har et stort ønske om at bruge de ting, de har medbragt hjemmefra, men det giver automatisk nogle “problemer” med størrelsesforholdet. En elev ønsker at bruge et paprør fra en køkkenrulle til en rutsjebane.

Lærer: “Hvor stor bliver din rutsjebane i virkeligheden, og hvor højt oppefra kører den?”.

Elev: “Jamen, så bliver den jo tre meter bred (diameter) og 19 m lang… på vores model starter man i 10 meters højde” … “det er farligt, det er det samme som 3. sal, tror jeg”.

En anden gruppe ville bruge en kokosnøddeskal som gynge.

“Den bliver 3,5 m i virkeligheden… det er en kæmpe gynge… den bliver tung”.

Eleverne arbejder cyklisk med at komme med modelforslag, som de “oversætter” til virkeligheden, og gør sig overvejelser over, om modellen er realistisk.

Evalueringsfasen
I en modelleringsproces gør man sig i denne fase ofte overvejelser over modellens anvendelighed til det, man ønsker at beskrive, og om den matematiske modelbygning har vist sig anvendelig til det formål, man havde med arbejdet. Det er naturligvis svært for elever i anden
klasse, så lærerne vælger at invitere forældrene og elever til fernisering af udstillingen af modellerne for på den måde at evaluere forløbet.
Arrangementet foregår som et caféarrangement, hvor eleverne fortæller om deres model til dem, som kommer forbi. Samtidig har alle mulighed for at se de tekster, eleverne har skrevet undervejs i forløbet, om “Min værste dag på en legeplads”. Nogle elever vælger at skrive brev til skolebladet og til ledelse, skolebestyrelse og skoleborgmester, hvor de søger om penge til indretning af en ny legeplads.

Nedenstående beskrivelse er et eksempel på, hvordan problemstillinger fra elevernes hverdagsliv kan være udgangspunkt for et undervisningsforløb, hvor eleverne får mulighed for at udvikle metoder til – og øve sig på – at multiplicere decimaltal og brøker med hele tal og blive fortrolige med regnehierarkiet og anvendelse af parenteser. Undervisningsforløbet lægger især op til, at eleverne udvikler deres symbolbehandling samt ræsonnementsog problemløsningskompetencer.

Undervisningsforløbet handler om forskellige emballager til drikkevarer. Inden starten på undervisningsforløbet indsamles forskellige typer emballage til drikkevarer. De konkrete emballager kan evt. erstattes af tegninger. Der skal være eksempler på emballager af flere forskellige størrelser, fx 1,5 liter cola, 1 liter mælk, 0,7 liter saft, 0,5 liter kildevand, 0,3 liter juice og 0,25 liter mælk.

Som indledning drøftes i klassen, hvor meget væske de forskellige slags emballager kan rumme, og resultaterne noteres. Både brøknotation og decimaltalsnotation kan anvendes, og der kan arbejdes med sammenhængen mellem de to notationsformer. Ud fra konkrete situationer kan eleverne diskutere, hvilken notationsform, de synes, der er bedst at anvende i forskellige situationer.

Eleverne kan også arbejde med beregning af væskeindholdet ud fra spørgsmål som:

Hvor mange liter er der i 4 store flasker cola? 10 flasker kildevand? 6 brikker juice? osv.

Ud fra en opstilling eller en tegning som nedenstående kan eleverne arbejde med forskellige problemstillinger:

Opgaverne kan følges op med andre opgaver, hvor symbolsproget skal afkodes.

På hylderne i køleskabet ligger drikkevarer med følgende rumfang:

Hylde 1: (3 ∙ 0,7 L) + (5 ∙ 0,5 L)

Hylde 2: (2 ∙ 1,5 L) + (2 ∙ 1 L) + (8 ∙ 0,3 L)

Hylde 3: (8 ∙ 0,5 L) + (2 ∙ 0,25 L) + (3 ∙ 1 L) + (3 ∙ 1,5 L)

• Hvilke drikkevarer ligger der på de tre hylder i køleskabet?
• Hvor ligger der mest sodavand? Mælk? Kildevand?
• På hvilken hylde ligger der mest væske?

Der er mange muligheder for at udbygge undervisningsforløbet med andre problemstillinger. Eleverne kan fx undersøge, hvor meget skolemælk en 2. klasse drikker en tilfældig dag.

I forbindelse med planlægningen skal læreren overveje, hvilke kompetencer, hvilke faglige emneområder og hvilke arbejdsmåder der i særdeleshed bliver udfordret og kan inddrages i undervisningsforløbet. Det er en god idé at få overblik over differentieringsmulighederne i de stillede opgaver, således at alle elever gennem dialog og samarbejde kan blive udfordret netop på deres niveau.

Problembehandlingskompetencen kommer i spil ved, at eleverne skal løse matematiske problemer knyttet til en kontekst – i dette tilfælde forskellige drikkevarer. Der gives mulighed for intuitiv tænkning og valg af forskellige repræsentationer, når rumindholdet skal noteres og
beregnes.

Symbolbehandlingskompetencen inddrages ved, at eleverne kommer til at arbejde med både brøknotation og decimaltalsnotation og deres indbyrdes sammenhæng, men kompetencen udfordres i særdeleshed, når eleverne skal skrive og afkode regneudtryk.

Emnefaglige tilgange:
I arbejdet med problemstillingerne får eleverne brug for at kunne addere eller multiplicere decimaltal og/eller brøker med hele tal. Viden om regnehierarkiet bliver ligeledes inddraget.

Arbejdsmåder
Elverne arbejder med udvikling af metoder til beregning inden for addition af brøker og decimaltal og multiplikation af disse med et helt tal.
Eleverne arbejder individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger og problemløsninger.

Følgende oplæg er tænkt til elever i overbygningen. Det handler om diagonaler i firkanter. Nogle elever i en 8. klasse vil stadig være usikre med hensyn til begreber og sprog i forbindelse med geometriske figurer. For dem vil det vigtige være at få styr på de forskellige typer af firkanter og på egenskaber ved diagonalerne i forskellige firkanter. Andre elever er parate til at udvikle generaliseringer og ræsonnementer inden for området. Alle vil de kunne gå i gang med at arbejde ud fra følgende oplæg:

Elevoplæg:

Alle firkanter har to diagonaler. Her er tegnet fire firkanter med deres diagonaler:

Her er fire udsagn om firkanters diagonaler:

1. Diagonalerne er lige lange.
2. Den ene diagonal går gennem den anden diagonals midtpunkt.
3. Diagonalerne skærer hinanden på midten.
4. Diagonalerne står vinkelret på hinanden.

• Undersøg, om nogle af udsagnene passer på diagonalerne i de tegnede firkanter.
• Kan I tegne en firkant, hvor alle fire udsagn er sande?
• Kan I tegne en firkant, hvor netop tre af udsagnene er sande?
• Kan I tegne firkanter, hvor netop to udsagn er sande?
• Kan I tegne firkanter, hvor kun ét af udsagnene er sandt?
• Kan I tegne en firkant, hvor ingen udsagn passer?

Læreren har besluttet, at eleverne skal arbejde med følgende trinmål inden for geometrien:

• at kende og anvende forskellige geometriske figurers egenskaber
• at benytte grundlæggende geometriske begreber, herunder … linjers indbyrdes beliggenhed
• at arbejde med enkle geometriske argumenter og beviser

Men det vil også være oplagt at inddrage et dynamisk tegneprogram i arbejdet, så eleverne hele tiden kan undersøge, hvordan det går med diagonalerne, når firkanten skifter udseende. Derfor vil også følgende faglige mål inddrages:

• at bruge it til tegning, undersøgelser, beregninger og ræsonnementer vedrørende geometriske figurer

Hensigten er også, at eleverne skal arbejde undersøgende, så de selv finder ud af og formulerer nogle af de sætninger, der er knyttet til firkanter og deres diagonaler. Trinmål fra arbejdsmåder, der er i fokus, er derfor

• at undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere.

Forskellige trinmål vedrørende kompetencer er centrale i dette emne. Da dialogen er helt afgørende i det undersøgende arbejde vil læreren stille krav om, at to til tre elever skal være sammen om at løse opgaven. Kommunikationskompetencen er i spil. Det bliver ved hjælp af dialogen, at eleverne får afklaret, hvad de forskellige firkanter hedder, og hvordan diagonalerne ligger, og hvilke egenskaber
der knytter sig til dem.

Læreren er selv undersøgende i sit arbejde med at planlægge undervisningen. Han tegner i et dynamisk geometriprogram og opdager derfor nogle af de ting, der senere skal blive hans redskaber i den dialog, han har med eleverne i selve undervisningen. I begyndelsen tegner han forskellige firkanter og deres diagonaler, rykker rundt på dem og finder nogle eksempler på løsninger. Men på et tidspunkt opdager han, at det bliver lettere for ham at være systematisk, hvis han først tegner diagonalerne og bestemmer, om de skal skære hinanden på midten eller stå vinkelret på hinanden, eller… Han opdager gennem sit eget arbejde med problemløsning, at der er mulighed for at udfordre elever ved hjælp af kompetencerne. Han får idéer til, hvilke kompetencer, han vil lægge vægt på, og han opdager, hvordan netop de kompetencer kan hjælpe ham til at stille “gode spørgsmål” til eleverne og finde udfordringer til dem. Han beslutter sig for at have fokus på

• tankegangskompetencen
• ræsonnementskompetencen
• kommunikationskompetencen
• hjælpemiddelkompetencen (især dynamisk geometriprogram).

Modellen herunder viser i stikordsformde samlede trinmål, han har valgt.

For mange elever er det svært overhovedet at finde meningen med en opgave som denne. Det er svært at finde ud af, hvilken slags spørgsmål man kan stille. De arbejder med tankegangskompetencen, når de arbejder med spørgsmål som:

• Hvad er det nu lige, en diagonal er?
• Hvorfor spørges der sådan i opgaven? Hvad er det egentlig, det her handler om?
• Hvad er definitionen på et parallelogram?
• Og hvad er forskellen på en rombe og et parallelogram?

Når de først har fundet ud af, hvad problemet går ud på, arbejder de med at finde frem til firkanter, der opfylder 4, 3, 2, 1 eller ingen af udsagnene, og de prøver at finde argumenter, ofte på forskellige niveauer. De er problemløsende og ræsonnerende i denne fase. Nogle af dem vil finde frem til, at det er diagonalerne, der er det bærende i problemløsningen, så dem kan de prøve at tegne først med de forskellige egenskaber og så bagefter se, hvordan firkanterne kommer til at se ud.

I arbejdet kommer de ud for at skulle formulere sætninger som fx: “Hvis diagonalerne står vinkelret på hinanden, så vil...”. I opgavens løb kan det blive til en erkendelse af generelle sammenhænge, som kan danne baggrund for egentlige definitioner og sætninger. Eleverne
kan – med lærerens hjælp – opdage, hvordan særlige egenskaber ved diagonalerne giver en rombe, mens andre giver en dragefirkant.

I arbejdet med ræsonnementkompetencen vil en række udsagn kunne være i spil, fx:

• “Hvis diagonalerne skærer hinanden på midten, så er firkanten et
  parallelogram. Den er måske også et rektangel, men så skal diagonalerne
  også være lige lange.”
• “Jeg prøver at tegne diagonaler, der opfylder to af de fire egenskaber.
  Men jeg kan jo ikke sige nej til det andet udsagn og ja til det tredje!
  Det kan jo ikke lade sig gøre, at den ene ikke går gennem den andens
  midtpunkt samtidig med, at de skærer hinanden på midten!”

Eleverne vil argumentere for, hvorfor ét eller flere af udsagnene passer på en given firkant, og de vil prøve at forstå, hvorfor andres argumenter holder eller ikke holder.

Hvis eleverne tidligere er blevet præsenteret for mange forskellige hjælpemidler, vil de måske selv kunne komme i tanke om at anvende fx sømbræt sammen med det dynamiske geometriprogram.

På et sømbræt kan synliggøres, at diagonalerne står vinkelret på hinanden ved at placere to elastikker på sømbrættet, hvorefter eleverne kan afgøre, om nogle af firkantens sider er lige lange. De kan prøve, om det gør en forskel, hvis den ene diagonal går gennem den andens midtpunkt. Med dette som udgangspunkt kan de gøre yderligere overvejelser, som de ellers ikke kunne magte. Det dynamiske geometriprogram er yderligere et godt redskab til at undersøge de forskellige kombinationer af muligheder for diagonalerne. Eleverne får en mulighed for at lade tanke og handling spille sammen, og de kan hurtigt ændre deres tegning, når de får en idé.

Differentiering vil være mulig inden for flere af trinmålene til denne opgave. Dels i den grad af sproglig præcisering, som den enkelte vil kunne magte, dels i forskellige konkretiseringer af problemformuleringer og -løsninger. Nogle elever kan synliggøre, at diagonalerne står vinkelret på hinanden ved at placere to elastikker på et sømbræt, lige lange eller ikke lige lange. Med dette udgangspunkt kan de måske gennemføre ræsonnementer, som de ikke kunne magte sprogligt, hvis ikke den konkrete handling med elastikkerne var en del af arbejdet. Andre kan sprogligt formulere problemer som fx: “når jeg sætter elastikkerne vinkelret på hinanden, får jeg en dragefirkant,
men mon jeg altid får det, når diagonalerne står vinkelret på hinanden?” Den slags præcise sproglige problemformuleringer vil kunne undersøges i det dynamiske geometriprogram og føre til en generalisering.

Differentieringen vil også blive synlig i elevernes indbyrdes argumentation. Måske har en elev en intuitiv forståelse for en bestemt delopgave, som han ikke kan få accepteret af de andre. Hans eneste mulighed for “at vinde” dialogen er at forbedre sin argumentation. Her vil både den formulerende og den ikke-formulerende kunne få et udbytte af dialogen. Det er ikke blot en dygtig, der trækker en svag med, men det er en dygtig, som bliver klar over, at det sproglige udtryk ikke er præcist nok til at kunne være en forståelig forklaring for andre.

Det vil naturligvis være over flere timer, at eleverne vil kunne arbejde med denne problemstilling. I en 8. klasse kunne det fx være 4 lektioner, der var afsat til det. Læreren kan også vælge at bygge endnu mere geometri op på denne opgave og lade forløbet strække sig over længere tid.

Opgaven kan også udbygges med at arbejde med diagonaler i en vilkårlig polygon, hvor eleverne finder antallet af diagonaler i en polygon.

Nogle elever kan udfordres til at undersøge, om følgende passer og hvorfor:

Arealet af et kvadrat kan findes som det halve af produktet af diagonalernes længde.

Hensigten med beskrivelsen af dette undervisningsforløb er først og fremmest at illustrere, hvordan konkrete problemstillinger kan være omdrejningspunkt i en undervisning, hvor der lægges vægt på, at eleverne får mulighed for at undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at skabe viden om centrale matematiske begreber som ligedannethed og emner som den pythagoræiske læresætning og trigonometri. I den beskrevne undervisning fokuseres der desuden specielt på elevernes udvikling af problembehandlings-, ræsonnements- og hjælpemiddelkompetence.

De mål, som “spiller sammen” i undervisningsforløbet, er her illustreret i stikordsform ved hjælp af lærerens tænkebobler:

De konkrete problemstillinger, der er forløbets omdrejningspunkt, vedrører afstande, der ikke umiddelbart kan måles.

Som det første oplæg præsenterer læreren følgende problemstilling:

Min nabo skal have bygget skråt tag på sit hus. Han har bedt mig om hjælp. Husets loft skal være 3 meter, men hvor lange tagspær skal han købe?

Klassen diskuterer problemstillingen for at sikre, at alle ved, hvad det drejer sig om. Nogle kommer med gæt på, hvor lange tagspærene skal være:

“Jeg gætter på omkring 7 meter.”

“Jeg gætter på 6,5 meter.”

“De skal jo i hvert fald være længere end 5 meter… For halvdelen af loftets bredde er 5 meter.”

“Vi skal også huske det lille stykke, der stikker ud over kanten.”

Læreren skriver de forskellige gæt på tavlen og præciserer problemstillingen. Samtidig bruger han lejligheden til at genopfriske de matematiske begreber, som er centrale i sammenhængen.

Er I enige i, at hvis vi ser bort fra udhænget, så har vi en retvinklet trekant? Vi kender længden af de to kateter, men vi kender ikke længden af hypotenusen.

En af eleverne foreslår, at de tegner sig frem til en løsning – i stedet for meter skal de bare tegne cm. Det giver en anledning til at genopfriske begrebet ligedannet trekant og målestoksforhold, og da eleverne kommer med deres bud på baggrund af deres tegnede modeller, diskuterer klassen, hvor stor usikkerhed der er i deres resultater.

Kender du det rigtige resultat? spørger eleverne – og læreren fortæller, at han kender en sammenhæng mellem kateternes længder og hypotenusens længde i en retvinklet trekant, som gør, at han kan regne sig frem til det rigtige resultat.

Dette er oplægget til, at eleverne “går på jagt” efter en sammenhæng mellem kateternes længder og hypotenusens længde i retvinklede trekanter – og undervisningen flytter sig på den måde for en periode over i en undersøgelse af teoretisk art. Findes der en generel sammenhæng mellem sidelængderne i retvinklede trekanter?

Eleverne introduceres for de navne, der oftest knyttes til en retvinklet trekants sider og vinkelspidser, så de lettere kan tale om disse.

De tegner så mange retvinklede trekanter, de kan nå, ved hjælp af et geometriprogram inden for en aftalt tidsramme. Ved hjælp af programmet undersøger de trekantens sidelængder, som de bruger til at udfylde et skema.

På lærerens opfordring udnytter eleverne skemaet til at se efter sammenhænge. Nogle elevgrupper har brug for et hint til at se den sammenhæng, mens andre opdager den hurtigt selv. For nogle elever er det en støtte, at udtrykkene a, b og c kan repræsenteres geometrisk ved hjælp af geometriprogrammet eller med en almindelig tegning.

På lærerens opfordring udnytter eleverne skemaet til at se efter sammenhænge. Nogle elevgrupper har brug for et hint til at se den sammenhæng, mens andre opdager den hurtigt selv. For nogle elever er det en støtte, at udtrykkene a² , b² og c² kan repræsenteres geometrisk ved hjælp af geometriprogrammet eller med en almindelig tegning.

Opdagelsen skal skrives på en planche, der skal hænge i klassen. Eleverne diskuterer derfor, hvordan de kan beskrive sammenhængen præcist. De slår op i opslagsbøger for at se, hvordan sammenhængen er beskrevet dér – og bliver på den baggrund enige om følgende formulering:

Læreren problematiserer imidlertid resultatet. Kan vi være sikre på, at det altid gælder? Vi har jo kun prøvet med nogle retvinklede trekanter – og vi kan vel ikke prøve med uendeligt mange!?

Denne problematisering bliver anledningen til, at eleverne arbejder med et geometrisk bevis for Pythagoras´ læresætning. Efterfølgende kan de vende tilbage til den oprindelige problemstilling med tagspærenes længder og beregne sig frem til et resultat. De kan også behandle lignende problemstillinger med “afstande, der ikke kan måles”, når det drejer sig om en retvinklet trekant med to kendte sidelængder.

Når problemstillingen vedrører en retvinklet trekant, hvor kun en sidelængde er kendt – eller andre typer trekanter – har eleverne imidlertid ikke redskaber til at beregne afstande, der ikke kan måles. Undervisningen fortsætter derfor med undersøgelser, der skal give eleverne  kendskab til forholdene mellem længden af ensliggende sider i ensvinklede trekanter. Eleverne opnår dette kendskab gennem arbejdet med følgende to arbejdskort:

 

Viden om forhold mellem sidelængder i ensvinklede trekanter danner baggrund for at kunne behandle nye problemstillinger vedrørende afstande, der ikke kan måles.

Eleverne arbejder i grupper med disse problemstillinger, der præsenteres i det følgende. Forløbet afsluttes med, at hver gruppe præsenterer deres arbejde med opgave 14 fra de følgende arbejdskort. Fremgangsmåder og resultater sammenlignes og diskuteres i klassen.

Elevgruppernes præsentation af deres arbejde udgør samtidig en del af forløbets evaluering, der suppleres med, at hver enkelt elev udarbejder en kort rapport, hvor de giver eksempler på, hvordan de kan finde “afstande, der ikke kan måles”.

Gruppernes præsentationer og de enkelte elevers rapporter giver læreren mulighed for at få indblik i hver enkelt elevs faglige udvikling med hensyn til både de kompetencer, de emner og de arbejdsmåder, der var i fokus i forløbet.

En dreng sætter en drage op.
Han har en rulle snor på 20 meter.
På et tidspunkt kan dragen ikke komme højere op, for drengen har rullet snoren helt ud.
Snoren ligner nærmest en ret linje. Det kan måles, at vinklen mellem snoren og den stiplede vandrette linje på skitsen er ca. 40 grader.

Hvor højt mon dragen flyver?

1) Vis, hvordan I løser opgaven ved hjælp af papir, blyant, vinkelmåler og lineal.

2) Vis eller forklar, hvordan I løser opgaven ved hjælp af et geometriprogram.

Herunder er tegnet en skitse af en trekant, der er ligedannet med trekanten på dragetegningen. På trekanten står der nogle oplysninger om sidelængder.

3) Vis, hvordan I løser opgaven med dragen ved hjælp af oplysningerne og en lommeregner.

4) Fik I det samme resultat med de tre løsningsmåderne? Hvorfor/ hvorfor ikke?

I tabellen er der tegnet skitser af nogle retvinklede trekanter, hvis længste side er 1 cm.

Sådanne trekanter kaldes enhedstrekanter.

Brug oplysningerne fra enhedstrekanterne til at løse opgaverne længere nede på siden.

5) Hvor højt flyver dragerne?

6) Hvor højt flyver dragen, hvis vinklen mellem den stiplede vandrette linje og dragesnoren er 90 grader?

Måske har I opdaget, at oplysninger om enhedstrekanter kan gøre det muligt at finde sidelængder i retvinklede trekanter, der er ligedannede med enhedstrekanten – som i opgaverne med dragerne.

Hvis man har oplysninger om forskellige enhedstrekanter, kan man bruge oplysningerne til at løse opgaver. På forrige side findes oplysninger om nogle af enhedstrekanterne.

7) Brug et geometriprogram til at lave flere enhedstrekanter. To af dem skal have vinklerne 100 og 300. Mål længden af den side, der ligger over for vinklen.

8) Brug dine enhedstrekanter til at løse opgaverne herunder

Hvor højt oppe er flyet?

Hvor højt oppe er bilen?

EKSTRA

9) Find selv på en lignende opgave. Kan I finde en opgave, hvor svaret er 100 meter? Kan I finde på flere forskellige opgaver, hvor svaret er 100 meter?

Heldigvis har andre mennesker lavet tabeller med enhedstrekanter, som vi kan bruge til at løse opgaver, hvor man skal beregne sidelængder i trekanter.

De har dog ikke tegnet alle enhedstrekanterne. De har valgt at kalde længden af den side, der ligger overfor en bestemt (ikke ret) vinkel for sinus til vinklen.

Tegningen herunder viser, at sinus til 40° er ca. 0,64.

10)

• sinus til 10°?
• sinus til 20°?
• sinus til 30°?
• sinus til 40°?

11) Her ses et udsnit af en sinustabel:

Grader	18°	19°	20°	21°	22°	23°	24°	25°	26°
Sinus	0,3090	0,3256	0,3420	0,3584	0,3746	0,3907	0,4067	0,4226	0,4384

12) Brug tabellen til at løse opgaven herunder:

Hvor højt oppe er bilen?

Hvor højt oppe er flyet?

Du kan også finde sinusværdier ved hjælp af en lommeregner eller en computer.

13) Find:

• sinus til 40°
• sinus til 45°
• sinus til 50°
• sinus til 55°

14) I London ligger verdens største pariserhjul. Det hedder “London Eye”. Hjulet har en radius på ca. 67 meter.
Passagerne sidder i de lukkede gondoler, I kan se på billedet.
Undersøg, hvor højt oppe nogle af gondolerne er.