Kapitlet handler om dele af de udfordringer, der findes i enhver matematiklærers dagligdag. I størstedelen af teksten er omdrejningspunktet folkeskolelovens krav om, at undervisningen skal tilrettelægges, “så den svarer til den enkelte elevs behov og forudsætninger” (§18).

Dette princip, der generelt omtales som undervisningsdifferentiering, har bl.a. betydning for lærerens valg af

• målsætning(er)
• aktiviteter
• lærebøger
• organisationsform
• metoder til den løbende evaluering.

Disse valg omtales i det følgende i hvert sit afsnit. Kapitlet afsluttes med overvejelser over arbejdet med elever med særlige behov.

Folkeskoleloven rummer en bestemmelse om, at på alle klassetrin og i alle fag “samarbejder lærer og elev løbende om fastlæggelse af de mål, der søges opfyldt” (§18.stk.4). Denne bestemmelse kan føre til en række spørgsmål vedrørende lærerens og elevens rolle i forbindelse med fastlæggelsen af mål for et konkret undervisningsforløb. Hvordan kan der i det hele taget være tale om et samarbejde, når målene tilsyneladende er fastlagt i Fælles Mål?

Trinmålene skal betragtes som lærerens undervisningsmål for hele klassen. Inden for rammerne af trinmålene fastlægges læringsmål for eleverne, der mere præcist beskriver, hvad eleverne skal søge at opnå viden om, eller hvad de skal søge at kunne. Disse læringsmål kan gælde for en gruppe elever eller for enkeltelever.

Der er altså tale om to betydninger af mål i et konkret forløb: Undervisningsmål som udvalgte trinmål, og læringsmål som elevgruppers eller enkeltelevers konkretiseringer af og handlinger inden for de udvalgte trinmål. Det er i forbindelse med læringsmålene, at der kan tales om samarbejde mellem lærer og elev om fastlæggelse af de mål, der søges opfyldt.

Det kan fx være et undervisningsmål, at eleverne deltager i udvikling af metoder til multiplikation og division på baggrund af egen forståelse. I den forbindelse kan det være et læringsmål for nogle elever, at de bliver i stand til at dividere ved hjælp af konkrete materialer, når dividenden er tocifret og divisoren er encifret. Samtidig kan det – med samme undervisningsmål – være et læringsmål for andre elever at dividere udelukkende med støtte i deres egne notater, når dividenden er op til femcifret, og divisoren er tocifret.

Målsætning bliver på den måde en vigtig brik i forbindelse med undervisningsdifferentiering. Undervisningsmålene må være brede nok til at rumme udfordringer for alle elever – og læreren må sammen med elevgrupper og enkeltelever løbende justere de læringsmål, der gælder for dem.

På et tidspunkt i et forløb om division kan det fx være passende for én eller flere elever at erstatte de konkrete materialer med illustrationer – eller måske at udvide det talområde, de arbejder inden for.

Det kan ikke betragtes som hensigtsmæssigt, at et helt klassetrin eller en hel skole vedtager specifikke læringsmål, der gælder for alle elever i en given klasse. Hvis det forventes, at alle elever i en klasse fx kan addere tocifrede tal i slutningen af 1. klasse, svarer det stort set til at forvente, at alle elever fx kan springe over 1 meter i højdespring. For nogle elever vil disse mål ikke rumme nogen udfordring, og for andre elever vil de være umulige at nå. For ingen af eleverne rummer en sådan måltænkning en fokusering på den talforståelse, der må betragtes som kernen i arbejdet med tal.

Hvis lærer og elev i samarbejde løbende skal justere læringsmålene, bliver det afgørende for læreren at have kendskab til elevens arbejde og tænkning. På den måde hænger målsætning uløseligt sammen med evaluering, som er omtalt senere.

For eleverne bliver det afgørende, at de har kendskab til undervisningsmålene for forløbet. Kun på den måde får de mulighed for at vurdere og komme med forslag til, hvad de hver især “kan klare” inden for undervisningsmålene. Hvis eleverne kun opfatter undervisningens mål som “at løse opgaverne i bogen”, vil de næppe kunne samarbejde med læreren om at arbejde målrettet mod at opnå en bestemt viden og kunnen.

Princippet om undervisningsdifferentiering har også betydning for lærerens valg af aktiviteter i undervisningen. Læreren må vælge aktiviteter, der giver eleverne mulighed for at have forskellige læringsmål på samme tid.
Det betyder ikke nødvendigvis, at forskellige elever skal
arbejde med forskellige aktiviteter. Der findes en lang
række opgaver, som “i sig selv” giver plads til undervisningsdifferentiering.

Eksempel, 1. klasse:
Klassen arbejder med følgende undervisningsmål:

• bestemme antal ved hjælp af addition, subtraktion samt enkel multiplikation og division inden for de naturlige tal
• løse matematiske problemer knyttet til en kontekst, der giver mulighed for intuitiv tænkning, inddragelse af konkrete materialer eller egne repræsentationer (problembehandlingskompetence)
• arbejde individuelt og sammen med andre om løsning af praktiske problemstillinger og matematiske opgaver.

I den forbindelse har læreren valgt følgende oplæg til aktivitet:

“Hvilke regnestykker kan I finde, som giver resultatet 10?”

Først kommer nogle elever fra klassen med spontane forslag:

“5 + 5 giver 10”

“9 + 1 giver også 10”

Da læreren spørger, forklarer eleverne, at de kendte resultaterne på forhånd. Han beder en af eleverne vise, hvorfor 5 + 5 giver 10. Eleven holder sine hænder op i vejret:

 “Man kan se, at 5 fingre på den ene hånd og 5 fingre på den anden hånd er 10 i alt… Vi har jo 10 fingre.”

Lærer: “Kan I også vise 9 + 1 med fingrene?”

Elev: “1 finger og 9 fingre giver også 10 i alt (viser med hænderne).

Lærer: “Hvad hvis jeg har 4 fingre (viser)? Hvor mange mangler jeg for at komme op på 10?”

Elev: “1, 2, 3, 4, 5, 6”.

I den næste periode arbejder nogle elever sammen to og to om at finde regnestykker, der giver 10 – andre elever arbejder alene. Læreren har i den periode mulighed for at støtte forskellige elever – med forskellige læringsmål – på forskellige måder.

Nogle elever har rigeligt at gøre med at tælle sig frem til stykker med to addender, der giver resultatet 10, og har svært ved at huske, hvordan et par af cifrene ser ud, når de skal skrive stykkerne ned. Læreren hjælper dem ved at tegne en “talstang”.

Andre elever har hurtigt fundet alle de additionsstykker med to addender, der giver 10. Læreren udfordrer dem ved at tegne sådan på et stykke papir:

____ + ____ + ____ = 10

____ – ____ = 10

Eleverne kan stadig tage fingrene til hjælp i forbindelse med den førstnævnte udfordring, men de får brug for centicubes til den sidstnævnte udfordring.

“Hvis jeg har 12 centicubes, hvor mange skal jeg så fjerne for at komme ned på 10?”, spørger læreren, for at sætte dem i gang.

Endelig er der nogle få elever, læreren udfordrer sådan:

100 – ____ = 10

99 – ____ = 10

_____ + ____ – _____ = 10

_____ ∙ _____ = 10

Læreren afslutter aktiviteten ved at bede eleverne skrive hver ét af deres stykker på tavlen. Han får nogle af eleverne til at fortælle, hvordan de har fundet frem til deres stykke.

Elevernes papir med deres regnestykker sættes ind i hver deres mappe, hvor de samler nogle af deres produkter. Læreren har mulighed for at bruge mapperne i sin løbende evaluering og i forbindelse med skole-hjemsamtaler.

Eksempel, 4. klasse:
Klassen arbejder med følgende undervisningsmål:

• løse matematiske problemer knyttet til en kontekst, der giver mulighed for intuitiv tænkning, egne repræsentationer og erhvervet matematisk viden og kunnen (problembehandlingskompetence)
• sætte sig ind i og udtrykke sig såvel mundtligt som skriftligt om fremgangsmåder og løsninger i forbindelse med matematiske problemstillinger (kommunikationskompetence)
• arbejde med enkle eksempler på målestoksforhold og ligedannethed i forbindelse med tegning
• undersøge metoder til beregning af omkreds, areal og rumfang i konkrete situationer
• arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, problemløsning samt øvelser.

I den forbindelse har læreren valgt følgende oplæg til aktivitet:

“Jeg skal bygge et kolonihavehus, som er 48 m2. Hvordan
kan grundplanen se ud?”

Aktiviteten indledes med at indkredse begreberne “kolonihavehus”, “m” og “grundplan” i en fælles dialog. De taler også om, at grundplanen kan laves i et målestoksforhold, hvor 1 cm på papiret svarer til 1 m i virkeligheden. Læreren har medbragt et eksempel på en grundplan over et rektangulært hus i målestoksforholdet 1:100, og klassen beregner i fællesskab husets areal.

Eleverne kan derefter vælge forskellige stykker papir til at tegne deres forslag til kolonihavehusets grundplan. Nogle vælger kvadratpapir, som er 1 cm ∙ 1 cm, fordi det giver dem mulighed for at tælle sig frem til det rigtige areal. Andre vælger kvadratpapir, som er 0,5 cm ∙ 0,5 cm, fordi det giver dem mulighed for at tegne i halve meter. Endelig er der nogle, der vælger blankt papir, fordi det giver dem større frihed til at tegne “anderledes” grundplaner.

Mens eleverne arbejder med deres grundplaner, har læreren mulighed for at udfordre dem på forskellige måder.

Nogle kan tegne flere forskellige rektangulære løsninger. De opfordres til at undersøge, hvor mange forskellige løsninger, de kan finde, hvis husets vægge skal være et helt antal meter. Hvilke af løsningerne vil være gode at bo i?

Nogle kan tegne løsninger, hvor mindst én af væggene ikke er et helt antal meter.

Nogle kan tegne løsninger, som giver huset mere end fire hjørner.

Nogle kan tegne løsninger, hvor mindst en af husets vinkler ikke er rette.

Læreren bruger elevernes forskellige løsninger til at udvide aktiviteten:

“Hvem kan forklare os andre, hvordan jeres hus ser ud, når vi ikke må se tegningen?”

Nogle af eleverne fortæller på skift om deres løsning af opgaven. De andre elever i klasse forsøger at tegne efter deres mundtlige forklaringer. Eleverne får på den måde mulighed for at kommunikere med brug af matematikfaglige begreber.

“Væggene er parallelle to og to… Der er fire vægge… Der er fire rette hjørner… Huset har form som en firkant…”, siger en elev.

“Hvilken slags firkant?”, spørger en anden.

“Et rektangel. To af siderne er 8 cm, og de sidste to sider er 6 cm. Døren sidder…”, fortsætter den første elev.

Husenes omkredse bliver også undersøgt. Når alle husene har arealet 48 m2, har de så også samme omkreds? Hvilket hus giver den største omkreds?

I forbindelse med valg af aktiviteter kan en lærebog være til stor hjælp. En stor del af de lærebøger, som er på markedet, rummer aktiviteter, der giver plads til, at forskellige elever kan arbejde med forskellige læringsmål på samme tid – som det er beskrevet i det foregående.

Som matematiklærer er det imidlertid også vigtigt at være opmærksom på, at undervisningen ikke skal tage udgangspunkt i bøgerne – men i børnene og i det, de skal lære. I planlægningen af et forløb må læreren vurdere, om en bestemt lærebog har noget at bidrage med i forhold til den hensigt, læreren har med undervisningen.

Om en lærebog er “god”, afhænger naturligvis af den situation, den skal bruges i. Det afhænger af læreren og af eleverne – og det afhænger af måden, den bliver brugt på.

De følgende spørgsmål er ment som en hjælp til at vurdere, hvordan en lærebog eller et undervisningsmateriale kan indgå i undervisningen. Det må forventes, at alle lærebøger i større eller mindre omfang må suppleres af lærerens egne idéer til aktiviteter i undervisningen.

Kriterier fra et læringsperspektiv:

• Bygger bogen på, at eleverne skal finde ud af, opdage, skabe matematik, eller fortæller den eleverne, hvordan tingene hænger sammen?
• Præsenterer bogen algoritmer, eller lægger den op til, at eleverne deltager i udviklingen af metoder?
• Giver bogen mulighed for, at eleverne kan arbejde problemløsende med opgaverne?
• Er bogens brug af materialer noget, der bare foreslås, eller inddrages det konkret?
• Kan der arbejdes på flere niveauer med den samme opgave?Er det muligt at arbejde med forskellige sproglige tilgange til samme opgave?
• Er det muligt at bygge på dialogen i bogens opgaver?
• Er der mulighed for at bruge det, der er lært, så eleven kan opnå en færdighed i det?

Kriterier fra et kompetenceperspektiv:

• Lægger bogen op til, at eleverne skal formulere og løse matematiske problemer?
• Lægger bogen op til, at samme matematiske emne fremstår i forskellige sammenhænge og repræsenteres forskelligt?
• Er det indbygget i bogen, at eleverne kommer til at kommunikere i, om og med den matematik, de er ved at tilegne sig?
• Hjælper bogen eleverne til at forstå den matematik, der ligger bag ved det aktuelle emne? Hvis fx et ræsonnement fører frem til resultatet, kan det helt centrale være, hvordan eleven har tænkt undervejs og ikke så meget, hvilket resultat eleven fik.
• Får eleverne mulighed for at arbejde med at frembringe, bruge og vurdere matematiske modeller?
• Kan der indgå regnetekniske hjælpemidler i arbejdet med bogen?

Kriterier fra et planlægningsperspektiv:

• I hvor høj grad hjælper bogen læreren til at undervisningsdifferentiere?
• Er der flere indgange til en opgave, flere muligheder for arbejdsmetoder undervejs og flere niveauer at afslutte på?
• Kan bogen anvendes i en gruppeorganiseret undervisning, hvor den enkelte elev kan bruge tid på og få hjælp til det, der er svært, eller er bogen opbygget, så læreren er nødt til fælles gennemgang en stor del af tiden?
• Lægger opgaverne op til, at der kan tales sammen om løsninger og metoder?
• Kan eleverne læse teksten selv og sætte sig ind i nogle af problemstillingerne?
• Kan bogen bruges sammen med andre bøger og materialer?

Kriterier fra et anvendelsesperspektiv:

• Giver bogen mulighed for, at eleverne anvender matematik for at løse problemstillinger uden for matematikken?
• Har bogen temaer, der inddrager “verden udenfor”? Er disse temaer “indpakning” for en bestemt matematisk aktivitet, der ikke har noget med sagen at gøre, eller er der mening i sammenhængen mellem tema og matematik?
• Bruges matematikken udelukkende til at svare på spørgsmål om “hvor mange”, “hvor meget” og “hvor stor”, eller bruges matematikken også til at svare på “hvorfor” og “hvordan”?

En lærebog kan ikke stå alene som undervisningsmiddel i en klasse. Der bør indgå andre supplerende skriftlige materialer. Desuden vil et udvalg af konkrete materialer være nødvendige for at gennemføre en kompetencebaseret matematikundervisning med vægt på eksperimenterende og undersøgende arbejdsmåder på alle klassetrin.

Anvendelsen af computer i undervisningen kræver, at der er et udvalg af relevante matematikprogrammer til rådighed. Hele it-området omtales nærmere i næste hovedafsnit.

Valg af organisationsformer er endnu et område, som har betydning for lærerens mulighed for at differentiere undervisningen. Organisationsformerne skal bl.a. sikre, at læreren i perioder får mulighed for at tale med én eller med få elever ad gangen i lang tid nok til at kunne sætte sig ind i deres tænkning. Kun ved at vide, hvad eleven tænker, får læreren mulighed for at tage udgangspunkt i elevens forudsætninger og potentialer.

Mange matematiklærere har især på begynder- og mellemtrinnet oplevet, at det kan være vanskeligt at få denne tid sammen med enkeltelever eller med få elever ad gangen. Især kan det være problematisk, hvis mange elever har brug for hjælp på samme tid. Læreren kan hurtigt blive til en person, der “springer rundt i klassen” og kun når at give korte informationer, inden han må videre til den næste, der har brug for hjælp.

For at imødekomme dette problem er det ofte en god idé at organisere undervisningen, så eleverne i perioder arbejder i grupper. En klasse med 24 elever kan fx deles i fire grupper, der ikke har den samme aktivitet. På den måde kan det planlægges, at lærerens hjælp er koncentreret omkring de grupper, som arbejder med opgaver, der kræver megen hjælp – eller med opgaver, som giver gode muligheder for, at læreren kan sætte sig ind i elevernes tænkning, ikke mindst de tosprogede elever.

Eksempel, 4. klasse:
Klassen arbejder med følgende undervisningsmål:

• bruge uformelle og formelle repræsentationsformer og forstå deres indbyrdes forbindelser (repræsentationskompetence)
• deltage i udvikling af metoder til multiplikation og division på baggrund af egen forståelse
• anvende de fire regningsarter til antalsbestemmelse ved hjælp af hovedregning, lommeregner, it og skriftlige beregninger.

Klassens 24 elever er delt i fire grupper:

• I gruppe 1 arbejder eleverne med at udvikle metoder til multiplikation.
• I gruppe 2 arbejder eleverne med at skrive eller tegne regnehistorier, der kan knyttes til multiplikation.
• I gruppe 3 arbejder eleverne med at automatisere den lille tabel ved at spille “gangebanko”.
• I gruppe 4 arbejder eleverne med gangestykker i et computerspil.

Arbejdet i gruppe 3 og 4 er aktiviteter, som eleverne i klassen alle er kendt med. Arbejdet i gruppe 2 er eleverne til dels kendt med, fordi de har prøvet noget tilsvarende i forbindelse med addition og subtraktion. Arbejdet i gruppe 1 er nyt for eleverne, og læreren fortæller på forhånd, at han mest vil bruge sin tid i denne gruppe. I gruppe 2 kan eleverne forvente at få noget hjælp, mens gruppe 3 og 4 så vidt muligt skal arbejde selvstændigt.

Grupperne arbejder på denne måde i det meste af en lektion. I næste lektion rokerer grupperne, så de i løbet af fire lektioner kommer igennem alle aktiviteterne.

Organisationen i grupper – eller i værksteder – giver også mulighed for, at eleverne kan arbejde med forskellige tilgange til det samme faglige emne. I 6. klasse kan det fx tænkes, at nogle elever har særlig glæde af at arbejde med ligningsløsning ved hjælp af fysiske handlinger med konkrete materialer, mens andre arbejder med ligninger med støtte i illustrationer, og andre igen arbejder med ligninger med udgangspunkt i det matematiske symbolsprog. Sådanne forskellige tilgange til læring omtaltes ofte som elevernes forskellige læringsstile.

I forbindelse med organisationsformer, der baserer sig på elevernes læringsstile, er det vigtigt at være opmærksom på, at den centrale aktivitet for alle eleverne er deres tænkning – ikke de fysiske handlinger. Eleverne lærer fx ikke multiplikation ved at kaste en bold til hinanden eller ved at synge tabelsange – men ved at de gennem tænkning forbinder det nye begreb med viden, de allerede har gjort til deres egen. Aktiviteter med konkrete materialer eller med illustrationer kan støtte elever til dette, mens boldkast og tabelsange højst hjælper nogle elever til at lære udenad.

De omtalte organisationsformer er især egnede til arbejdsformer, der baserer sig på opgaveløsning eller på elevers mere undersøgende arbejde. Gruppedelingerne kan både bruges til samarbejde og til elevernes individuelle arbejde.

I perioder eller i sekvenser, hvor undervisningen baserer sig på klassens dialog, er det naturligvis oplagt, at klassen arbejder samlet med læreren som leder. Læreren har i denne organisationsform mulighed for at inddrage elevernes forskellige input i dialogen ved fx at spørge, reformulere og konkludere på baggrund af elevernes input. I en sådan undervisning bidrager elevernes forskellighed til at lægge forskellige perspektiver på den faglige samtale.

I folkeskolelovens § 13, stk. 2, omtales en bestemt form for evaluering: “Som led i undervisningen skal der løbende foretages evaluering af elevernes udbytte heraf... Evalueringen skal danne grundlag for vejledning af den enkelte elev og for den videre planlægning og tilrettelæggelse af undervisningen.”

Denne form for evaluering, der ofte omtales som “formativ evaluering”, kan betragtes som en integreret del af et undervisningsforløb og hænger uløseligt sammen med undervisningsforløbets undervisningsmål og læringsmål, da evalueringen er rettet mod disse mål.

Den formative evaluering er fremadrettet, og hensigten er at kvalificere både elevernes og lærerens arbejde og samspillet her imellem.

I forbindelse med den formative evaluering er det derfor ikke nok at konstatere, om eleven kan eller ikke kan løse en given opgave. Denne evalueringsform må give læreren et mere nuanceret indblik i elevens styrker, svagheder og potentialer – på, hvad der “virker”, og hvad der
“ikke virker”. Er der tilgange til det faglige emne, der er særligt fordelagtig for eleven? Er der arbejdsformer, som skal vægtes særligt i den kommende undervisning? Skal der fokuseres specielt på bestemte kompetencer i fremtiden?

Grundlaget for den formative evaluering kan fx være:

• Observationer af elevernes arbejde, fastholdt med lærernoter
• Samtaler med klasse, hold, grupper eller enkeltelever
• Samtaler med elever på grundlag af opgaver, de har løst
• Samtaler med elever på grundlag af logbøger
• Udvalgte produkter, evt. i en portfolio
• Elevers præsentationer
• Spørgeskemaer
• Videooptagelser.

Hvis opgaver danner baggrund for den formative evaluering, er det naturligvis afgørende, at opgaverne giver mulighed for at evaluere det, der er hensigten.

Hvis man fx i en 8. klasse ønsker at evaluere elevernes viden og kunnen inden for trinmålet: atarbejde med funktioner i forskellige repræsentationer, giver det ikke mange informationer, hvis eleverne kun bliver bedt om at tegne grafen for y = 7,50x i et koordinatsystem.

En anden mulighed er den følgende opgave:

Grafen viser sammenhængen mellem euro og danske kr.

1. Giv eksempler på, hvad du kan læse af grafen.
2. Vis sammenhængen mellem euro og danske kr. på andre måder, du selv vælger.
3. Forklar, hvilke fordele og ulemper du kan se ved de forskellige måder at vise sammenhængen på.

Mens den førstnævnte opgave kun giver eleven mulighed for at vise en færdighed, giver den sidstnævnte opgave eleven mulighed for både at vise færdigheder og for at vise, om han/hun kan anvende disse færdigheder i den beskrevne situation. Endelig giver den sidstnævnte
opgave også eleven mulighed for at forholde sig kritisk til de forskellige repræsentationsformer, han/hun vælger.

En kort samtale med eleven, der har arbejdet med den sidstnævnte opgave, vil således give et langt mere nuanceret billede af hans/hendes viden og kunnen i forbindelse med undervisningsmålet.

Den sidstnævnte opgave illustrerer, at viden kan foreligge på flere forskellige niveauer. Forskere har forsøgt at beskrive disse forskellige niveauer på forskellige måder. En af niveaubeskrivelserne er:

• Fakta
  (kendskab af kvantitativ karakter – fx vide, hvad en “graf” er)
  
• Færdighed
  (indsigt, der har at gøre med, hvordan operationer udføres – fx kunne tegne en graf i et koordinatsystem ud fra en funktionsforskrift)
  
• Forståelse
  (indsigt af kvalitativ karakter – fx kunne sammenligne og vurdere de informationer, forskellige repræsentationer af funktioner giver)
  
• Fortrolighed
  (indsigt, der medfører, at eleven på grundlag af sin faktaviden, færdigheder og forståelse kan træffe kvalificerede valg i forhold til en given problemstilling – fx vælge den repræsentationsform, der ifølge elevens begrundelser giver den mest brugbare information)

Traditionelt har matematiklærere hovedsageligt evalueret ved hjælp af test, hvor eleverne kun får mulighed for at vise faktaviden og færdigheder. Kompetencebeskrivelsen af faget matematik og trinmålene i Fælles Mål sigter på et højere kundskabsniveau, og de evalueringsformer, der anvendes, må derfor være i overensstemmelse hermed. Det betyder, at læreren i evalueringen af eleverne skal have fokus på, at eleverne får mulighed for at vise viden og kunnen på forståelses- og fortrolighedsniveau. Derfor kan de test, som udelukkende viser faktaviden og færdigheder, ikke stå alene i den løbende evaluering. Der skal som nævnt ovenover mange andre evalueringsformer og evalueringsmetoder i spil.

En for stærk fokusering på fakta- og færdighedsprøver kan desuden medvirke til, at der i praksis sker en indsnævring af opmærksomheden på hele matematikfagets område. Al erfaring tyder på, at det, der testes i, er det elevernes og lærerens opmærksomhed rettes mod.

Der er en tæt sammenhæng mellem vidensniveauet “fortrolighed” og med kompetencebegrebet. Men mens “fortrolighed” knytter sig til viden om bestemte faglige begreber eller fagområder, fokuserer kompetencebegrebet i højere grad på matematikkens grundlæggende
natur.

Graden af kompetence – eller ekspertise – kommer ikke til udtryk i et simpelt facit eller i afkrydsning af et sandt udsagn. Hvis den løbende evaluering af elevernes kompetencer fx baserer sig på opgaver, må det være opgaver, hvor eleverne kan svare mere eller mindre nuanceret – som i opgaven ovenover for 8. kl. vedrørende funktioner i forskellige repræsentationsformer. Denne opgave vil – sammen med en kort samtale med eleven – kunne give læreren tegn på elevens repræsentationskompetence. Råder eleven fx over forskellige repræsentationer for funktionen? Kan eleven formulere sammenhænge og forskelle mellem de forskellige repræsentationer? Kan eleven
anvende repræsentationerne i kendte sammenhænge? I ukendte sammenhænge? Forholder eleven sig kritisk til sin anvendelse af de forskellige repræsentationer?

De forskellige tegn – eller manglende tegn – på elevens repræsentationskompetence vil læreren kunne anvende i sin kommende planlægning.

På Skolestyrelsens evalueringsportal www.evaluering.uvm.dk kan læreren finde mange artikler om evaluering, både generelt og fagspecifikt. Der er beskrevet mere end 20 forskellige evalueringsredskaber, og der er et stort antal eksempler på evaluering i konkrete situationer.

Den løbende evaluering skal indgå i elevplanen. Det medfører, at der skal være en vis skriftlighed i evalueringen, der kan anvendes på en enkel måde i den skriftlige elevplan til forældrene. Fx kan eleverne arbejde med en præsentationsportfolio suppleret med en logbog, der også rummer den enkelte elevs planer for det kommende arbejde. Efter en samtale mellem lærer og elev kan en portfolio og logbog blive elevplanen.

Det er en stor udfordring for matematiklæreren at undervise på en måde, der tilgodeser alle elevers forskelligheder i en klasse. Eleverne har ikke samme udgangspunkt i forhold til det at lære matematik. Nogle arbejder hensigtsmæssigt med det, læreren har planlagt for timen, andre synes at være gået helt i stå, mens atter andre virker til at kunne det hele i forvejen.

Der bliver brugt forskellige ord om det at have vanskeligheder i matematik. En klar, entydig og alment anvendt definition af matematikvanskeligheder findes endnu ikke. Elever med vanskeligheder i faget matematik bør have særlig opmærksomhed af matematikuddannede lærere, og evt. efterfølgende specialundervisning bør ligeledes varetages af matematiklærere med specialuddannelse.

Ofte søges matematikvanskeligheder afdækket med en test, men en test med fokus alene på resultatet viser hverken, hvori vanskelighederne grundlæggende består, eller hvordan de skal afhjælpes.

Uanset hvad årsagerne kan være til elevers matematikvanskeligheder, findes der mange forskellige måder at hjælpe en elev videre på. Det er vigtigt, at den hjælp matematiklæreren giver, bygger på det, eleven kan, og på elevens styrkesider.

Dette skal ses i modsætning til, at specialundervisning ofte har bestået i at sætte eleverne til at regne i en matematikbog for nogle lavere klassetrin – uden at undersøge, hvad eleven egentlig kan og ikke kan. Det er udbredt at tænke, at forståelsen kommer efterhånden, hvis eleven bare træner længe nok. Der er kun lidt eller ingenting, som tyder på, at det er rigtigt. Det giver ikke mening at blive ved med at fastholde elever i situationer, hvor de ikke har succes. I stedet for at give eleverne en masse regnestykker, kan det være væsentligt, at de lærer nye og hensigtsmæssige strategier.

Hvis eleven skal hjælpes videre på en kvalificeret måde, kræver det, at læreren sætter sig ind i elevens tankegang. Det vil for det meste kræve, at læreren går i dialog med eleven om matematikken. I dialogen er det muligt at få indblik i, hvilke strategier eleven har anvendt. “Hvad tænkte du, da du løste den opgave?” “Fortæl lidt mere om, hvordan du regnede der…” I dialogen bliver det klart for både lærer og elev, hvor eleven er henne i forhold til det faglige område. Eleven bliver klar over sin tænkning, hvad han/hun har forstået, og læreren får indblik i, hvilket forståelsesgrundlag der er at arbejde videre ud fra, og kan tilrettelægge undervisning ud fra dette.

Læreren har altså mulighed for i dialogen med eleven at lytte sig til en væsentlig indsigt. Spørgsmålet er da, hvordan det er muligt at skabe plads for sådanne dialoger i den daglige matematikundervisning? Nogle har tolærertimer, hvor det er muligt for den ene lærer at tage tid til sådanne dialoger. Andre har mulighed for at trække på matematikvejlederen eller evt. en kommunal matematikkonsulent, men mange vil være nødt til selv at skabe rum for sådanne dialoger. Læreren må organisere sig til muligheden for at komme tæt på den enkelte elev. Læreren kan sætte klassen i gang med at arbejde med opgaver, der ikke kræver anden hjælp end den, eleverne kan give hinanden, og således skabe rum for små dialoger med enkelte elever.

Alle elever kan lære mere, men hvad, der er relevant at lære lige nu, og hvor hurtigt, er forskelligt. Når fokus sættes på, hvad der kan lade sig gøre, frem for på manglerne, vil der automatisk blive lagt vægt på læringspotentialet, og hensigten med undervisningen er i fokus. Det
er således ikke relevant at tænke på, hvad eleverne ikke kan, men på hvad de kan – og hvad de har mulighed for at lære.

Det bliver vigtigt for læreren at lede efter elevernes ressourcer, for der er altid ét eller andet at bygge videre på. Det er vigtigt at finde dette “et eller andet”, for én af de mest centrale faktorer i læringen er at få tidligere erfaringer og det, der vides på forhånd, i spil.

Elever med vanskeligheder i matematik tænker også, men nogle gange tænker de på en anden måde end den, der forventes af dem. Læreren må hjælpe eleverne med at skabe mening i arbejdet med matematik og støtte dem til at tro på, at de kan lære. Ofte er en del vanskeligheder overvundet, når eleverne får tillid til, at de kan noget matematik.

Det er vigtigt, at læreren ikke kun lytter til de elever, der har vanskeligheder i matematik – alle elever har glæde af dette, også de allerdygtigste. Det er væsentligt, at de ikke bliver dem, der aldrig har lektier for, og altid skal hjælpe de andre. De må også have udfordringer – der er altid mere at lære, også for de dygtige.

Læreren kan fx supplere med en anden type opgaver til de elever med faglig udfordring på et andet niveau. Men for at bevare det matematiske fællesskab i klassen er det også vigtigt at arbejde med de samme problemstillinger i hele klassen, og det kræver, at det er problemstillinger, hvor det er muligt at differentiere. (Se afsnittet, “Valg af aktiviteter” ovenover).

Læreren kan gøre det til sin vane at tænke om opgaverne: “Hvordan kan jeg gøre opgaven lettere? Hvordan kan jeg gøre opgaven sværere? Hvordan er det muligt at have forskellige tilgange til denne opgave?” På den måde bliver differentieringsmuligheder tænkt ind i klassens arbejde, hvilket ikke mindst kan have stor betydning for mange tosprogede elever.

Det er positivt for hele læringsmiljøet i klassen, når nogle – måske nogle af de dygtige – griber en udfordring og bliver lidt “matematisk frustrerede”, fordi nødden er lidt svær at knække. Et enkelt hint fra læreren i problemløsningsprocessen kan hjælpe eleven videre, så eleven stadig har ejerfornemmelse for løsningen af problemet. Læreren må altså have øje for dem, der skiller sig ud, hvad enten det er pga. matematikvanskeligheder eller pga. et matematikoverskud. De kan alle lære mere.

Hvordan når vi derhen, hvor eleverne faktisk ønsker at lære mere? Mange elever tænker, når de er gået i stå: “Det er noget med, at man skal…” Det er et udtryk for, at de leder efter en bestemt måde eller måske en metode, som man gør tingene på i klassen. Hvordan får vi elever, der “overtager problemet” og selv arbejder aktivt på at finde en løsning i stedet for at prøve på at komme i tanke om noget, som de egentlig ikke har forstået? Hvordan får læreren skabt et læringsrum, hvor alle elever – også dem med matematikvanskeligheder – vil være med?

Alle elever har noget at bidrage med til det matematiske fællesskab, hvis læreren forstår at opfange de “guldkorn”, der falder fx i en fælles klassesamtale, og bidrage til et arbejdsklima, hvor fejl er velkomne og kan blive udgangspunkt for en læringssamtale, og hvor det bliver
naturligt for eleverne at markere: “Jeg har altså gjort det på den måde.” “Men jeg gjorde sådan.”

Læreren kan vælge sin holdning til matematikundervisning og vælge sit syn på eleverne. Læreren kan vælge at betragte sin klasse som en flok elever, der er håbløst bagud, eller som en flok elever med potentiale til at udvikle matematiske kompetencer. Læreren må give eleverne modet til at prøve deres idéer af, at tage de andre i klassen med ind i “på-vej-tankerne” – altså de tanker, som er på vej til at blive klare – de tanker, som står klarere, når de bliver sagt højt.

Læreren kan betragte sig selv som én, der også er i en læringsproces, hvor hensigten bl.a. er at lære mere om elevernes læring og tilgang til matematik, men måske rejses der også nogle gange spørgsmål i en matematiktime, som elever og lærer sammen kan undersøge. Læreren kan vise en nysgerrighed i forhold til elevernes tænkning og læring så tydeligt, at det vækker deres nysgerrighed i forhold til at lære endnu mere matematik. Det bliver på en måde en form for “smittende nysgerrighed”, der bliver omdrejningspunktet.

Ethvert fagområde har sit særlige sproglige register, dvs. de sproglige mønstre der gør sig gældende, når fagfolk bruger sproget, og som er bestemt af fagets genstandsområde og den funktion, faget har. Dette faglige register kommer til udtryk i bl.a. teksters opbygning, mundtlige og skriftlige formuleringer og det fagspecifikke ordforråd. I klasser med tosprogede elever må faglæreren derfor tilrettelægge en undervisning, som skaber gode betingelser for tilegnelse af det faglige såvel som det fagsproglige stof. Tosprogede elever har for manges vedkommende kun fagundervisningen til at tilegne sig det faglige register, inkl. de førfaglige ord, og deres udgangspunkt på andetsproget er ofte utilstrækkeligt i forhold til, hvad der forudsættes i undervisningen og i fagteksterne.

Det betyder, at nogle tosprogede elever ikke har de sproglige ressourcer på andetsproget, som skal være på plads for at tilegne sig det nye sprog, nemlig fagsproget, og konsekvensen er, at de skal tilegne sig nyt vha. nyt.

Ud over de egentlige fagudtryk, som er nye for alle elever, rummer fagsprog sædvanligvis mange ord og begreber, som ikke er hyppigt forekommende i hverdagssproget, og derfor ikke nødvendigvis beherskes på andetsproget dansk. Det er de såkaldte førfaglige ord og begreber, fx landbrug, cirkel, fjer.

Forud for tilrettelæggelsen af et undervisningsforløb bør man overveje, hvilke fagsproglige udfordringer der ligger i det pågældende tema:

• Hvilke fagsproglige mål kan der opstilles for et givent emne? Hvilket relevant fagsprog skal eleverne tilegne sig gennem undervisningen?
• Hvilke kommunikative mål lægges der op til i trinmålene?
• Hvilke sproglige kompetencer skal eleverne have for at læse fagteksterne? Kender de fx de relevante ord og begreber? Og kender de den særlige måde, hvorpå en fagtekst formidles i det pågældende fag.

Hvad kan matematiklæreren gøre? Samarbejde med læreren med dansk som andetsprog eller dansklæreren er åbenlyst. Men er disse ikke til stede i matematiktimerne, kan matematiklæreren være opmærksom på fx at:

• anvende kropssprog
• anvende visuelle repræsentationer som tegn, symboler, billeder, kort, konkrete materialer osv.
• tale langsomt i nøglesituationer
• give ekstra opmærksomhed på vigtige ord
• knytte kendt til ukendt
• spørge ind til elevens eget sprog.

Specielt i faget matematik er der mange muligheder for at give tosprogede elever gode betingelser for at lære faget. Faghæftet giver mange eksempler på og anvisninger af, hvordan matematiklæreren skal tilrettelægge en undervisning, der tilgodeser alle elevers læring. Meget af dette vil også tilgodese elever med dansk som andetsprog.

Matematik er et fag, som forældre ofte synes, det er svært at hjælpe deres børn med. Det hænger sammen med flere ting. Nogle forældre er ikke lykkedes med matematik selv og har derfor problemer med matematik i voksenlivet. De fleste forældre har desuden kun erfaringer
med deres egen matematikundervisning og har måske svært ved at forstå og følge med i den udvikling, som matematikundervisningen hele tiden gennemgår. Der er et forhold, det er vigtigt, at både læreren og forældrene forholder sig til: Undervisningen skal først og
fremmest foregå i skolen og varetages af læreren. Forældrene kan så støtte deres barn på andre måder, fx ved:

• Træning af det lærte, fx tabeller
• Undersøgelser af ting og forhold, der skal bruges i skolen dagen efter, fx familiens elektricitetsforbrug
• Deltagelse i familiens dagligdag, hvor der bruges matematik
• Spil og lege, hvor der skal bruges forskellige former for matematik.