Menneskets evne til at benytte symboludtryk i mundtlig og skriftlig kommunikation er en væsentlig forudsætning for vores kultur. Arbejdet med tal og algebra skal ses i denne sammenhæng.

Studiet af tal og relationer imellem tallene er udgangspunktet for den del af undervisningen, der sigter mod at give eleverne en begyndende indsigt i algebraen. Undervisningen må tilrettelægges, så eleverne får indsigt i – og i en vis forstand selv oplever – hvordan menneskene har skabt tallene, og hvordan tallene benyttes til at beskrive forhold fra virkeligheden.

Fra den første forståelse af de naturlige tal til indsigt i de rationale tals verden og videre frem mod “nye” tal som √2 og π er der et utal af små og store trin at passere. Tilmed er det sådan, at der er mange forskellige trapper at bevæge sig ad, og læreren skal sammen med den enkelte elev søge at finde en farbar vej. Alle elever skal få et indtryk af hele det spektrum, som tallene udgør.

Fra tal til algebra
Når børn fx leger købmand og tæller, hvor mange penge de har, gør de erfaringer med forskellige måder at regne på. De kan få behov for at overveje, om de har penge nok. Med lærerens hjælp flytter de sig gradvist fra beskæftigelsen med de konkrete problemstillinger til at gøre sig overvejelser på et mere generelt og overordnet plan. Bevægelsen går fra konkrete situationer med fx legepenge til bl.a. metoder, der generelt kan anvendes til addition – fra det konkrete mod det generelle.

Elevernes arbejde med regler for behandling af tal vil også senere i skoleforløbet kunne foregå i nær tilknytning til dagligdags problemstillinger, der således kan blive et tænkeredskab for den enkelte elev:

Hakket oksekød: pr. kg 65,-

Hvis opgaven går ud på ud fra annoncen at beregne prisen på 600 gram hakket oksekød, skal teksten først afkodes. Eleverne skal kunne forstå tallenes betydning i den sammen hæng, de indgår, og derefter skal de vælge regningsarter og udføre regneoperationer. Man kan sige, at der skal vælges en matematisk model til løsning af problemet. Endelig skal resultatets rimelighed vurderes.

Eleverne kan undervejs vælge forskellige nedskrivninger af regneudtryk for beregningen:

65 : 1000 ∙ 600 = 39

65 : 10 ∙ 6 = 39

65 ∙ 0,6 = 39

Er alle tre udtryk svar på opgaven?

Samtaler herom vil være væsentlige led i opbygningen af en forståelse af det algebraiske sprog, og sådanne overvejelser er forudsætningen for, at algebraen på de ældste klassetrin for eleverne kommer til at fremstå som en måde at beskrive virkelighedens fænomener på.

Hvis der fx diskuteres fartgrænser, ved de fleste elever, at såvel en bils fart som dens vægt har betydning for, hvor kraftigt et eventuelt sammenstød bliver. Her kan energisætningen:

E = ½mV²

bruges til at belyse, hvordan en ændring af farten V påvirker energien for en bil med massen m og dermed sammenstødet. Gennem algebraiske overvejelser kan eleverne indse ved at arbejde med formlen, at farten betyder langt mere end massen for energimængden. Dette kan evt. tydeliggøres ved at tegne en graf.

I de beskrevne eksempler er peget på, hvordan arbejdet med tal og algebra på forskel lige klassetrin kan indgå, når problemstillinger fra dagligdagen behandles. Dette kan ses i modsætning til en undervisning, der udelukkende tilrettelægges med den hensigt at kunne løse rene talopgaver og senere at kunne manipulere med bogstavudtryk.

For eleverne skal algebra blive til et sprog, som de kan læse og forstå i forbindelse med formler og anvende i forbindelse med beskrivelse af generaliseringer og sammenhænge. Det skal blive til et redskab, der kan bruges til løsning af praktiske og teoretiske problemer.

Det er derfor ikke tilstrækkeligt at kunne “rykke rundt” på symbolerne ved at følge nogle bestemte regneregler. Arbejdet med algebra kan ikke ses som isolerede øvelser i bogstavregning. På den anden side bliver algebra ikke til et anvendeligt sprog eller til et brugbart redskab, hvis man ikke kan omskrive symboludtryk.

Arbejdet med algebra kan ses som cirkulært. Arbejdet
består af faser med

• oversættelse af en hændelse eller en problemstilling til et algebraisk udtryk
• omskrivning af symboludtryk
• tolkning af symboludtryk (der igen knyttes til hændelsen eller problemstillingen)

Det er altså nødvendigt at kunne håndtere alle faser af den algebraiske cyklus, hvis algebra skal blive et brugbart sprog og redskab.

Udvikling af beregningsmetoder
Elevernes arbejde med de naturlige tal knytter sig til praktiske situationer fra hverdagen, spil og lege, men kan også have udgangspunkt i børnenes fantasiverden og i regnehistorier. De møder herigennem de fire regningsarter som redskaber, de har brug for til løsning af mange forskellige problemer.

Indtil fremkomsten af lommeregneren har man betragtet skriftlige udregninger i bestemte opstillingsskemaer som en selvfølgelig del af de almene kundskaber.

Den lette adgang til lommeregnere og computere medfører, at hensigten med talarbejdet er ændret. Elevernes arbejde med beregningsmetoder sigter mod deres forståelse af regningsarternes anvendelse, mod deres talforståelse og mod deres udvikling af generelle matematiske kompetencer. Det er ikke et mål, at eleverne kan bruge bestemte algoritmer til beregning.

I arbejdet med beregningsmetoder kan eleverne bruge konkrete tællematerialer, illustrationer og et mere formelt symbolsprog i et samspil. Udgangspunktet bør være en bred variation af situationer og regnehistorier.

Regnehistorier kan i de mindre klassetrin være lærerens mundtlige fortællinger, der rummer et problem, der skal regnes på. Eleverne kan også forberede lignende fortællinger til hinanden. Historierne kan både være fantasifulde og virkelighedsnære. I elevernes arbejde med at
løse en histories problem bruges både hovedregning, konkrete materialer, tegninger og uformelle notater. Senere i skoleforløbet kan historierne blive skriftlige. I overbygningen kan regnehistorierne blive til elevfremstillede opgavesæt, som kan ligne afgangsprøverne.

I skolen mødes den enkelte elevs uformelle viden og kunnen med matematikkens faglige begreber. Det er vigtigt, at de faglige begreber bliver forbundet med elevernes forforståelse eller førfaglige begreber. Det er vigtigt, at eleverne præsenteres for forskellige problemer, der løses med samme regningsart, således at eleven med tiden kan genkende nogle af de problemtyper, der udløser en bestemt regningsart.

En åben tilgang til arbejdet med at løse problemer fra elevernes dagligdag og fra regnehistorier kan samtidig være med til at styrke elevernes tro på, at de med udgangspunkt i deres egen viden kan løse et problem. For læreren betyder arbejdsformen, at der hele tiden må tages stilling til, hvilke elever der kan bydes nye udfordringer.

Måske er tidspunktet i en klasse i indskolingen kommet til et større fælles undersøgelsesarbejde, hvor eleverne arbejder med uformelle regnestrategier, og hvor eleverne benytter lommeregneren som hjælpemiddel:

• Hvor mange gange skal du trykke på 2 og + for at få 20? 30? 40?
• Kan du også ramme 21? 22? 23?
• Kan du ramme 48 ved at trykke på 2 og +? 
•  Kan du ramme 48 ved at trykke på 3 og +?
• Hvor mange gange skal du trykke?

I forbindelse med arbejdet med regnemetoder bør man være opmærksom på, at læreren har til opgave at udfordre den enkelte elev til aktiv deltagelse i udvikling af regnemetoder. Læreren skal således ikke overlade det til eleven selv at “opfinde” en regnemetode, men støtte ham til at tænke videre ud fra egne tanker og strategier. Lærerens støtte skal ikke være introduktion af bestemte standardalgoritmer.

Læreren skal være bevidst om, at selve udformningen af en beregningsmetode vil ændre kravet til talforståelsen, fx når opstillingen i fx en simpel addition forandres fra vandret til lodret opstilling:

43 + 6 = _____ 
               
               43
+               6 
                _____ 
                _____

I den første opstilling skal eleven overveje, om “6” skal parres med “3 enere” eller med “4 tiere”, mens man i den anden opstilling helt kan udelade denne overvejelse. Natur ligvis kan man sige, at den sidste opstilling er praktisk, men det fremmer næppe talforståelsen at starte
med at indlære en sådan standardalgoritme.

Ser man isoleret på arbejdet med træningsopgaver i udregninger inden for de fire regningsarter, har dette normalt ikke haft til formål at give eleverne indsigt i algebraen. Arbejdet havde alene det sigte at give eleverne sikkerhed i det, som lommeregnere og computer nu kan
klare. Formålet med at arbejde med beregningsmetoder er at øge elevernes talforståelse og stigende indsigt i algebraen. Formålet er ligeledes, at den enkelte eleverne er med til at udvikle beregningsmetoder, der bygger på deres forståelse, og som de kan huske og håndtere. Således vil der i en klasse arbejdes med flere forskellige regnemetoder, og det er lærerens opgave at støtte den enkelte
elev i dette arbejde.

For eksempel er en gruppe elever i 3. klasse i gang med at lægge et budget for en lejrskole. De er ved at undersøge udgiften pr. elev for en uge, når det koster 240 kr. for én dag.

Valg af regningsart bliver det første, de skal bestemme sig for. Én elev vælger addition, og de andre multiplikation. Ved hjælp af lommeregneren finder de frem til, at prisen bliver 1680 kr.

Læreren vælger på et tidspunkt at tale med hele klassen om problemet. Specielt tales om, hvordan man uden brug af lommeregner kan beregne prisen. En elev foreslår først, at man kan regne med cirkatal og sige, at 7 ∙ 200 er 1400. Man drøfter dette og bliver enige om, at cirkatal ikke er nok i dette tilfælde, da man gerne vil have en præcis pris pr elev.

Uden at præsentere en beregningsmetode beder læreren eleverne om at finde det præcise resultat af multiplikationen 7 ∙ 240. Det resulterer bl.a. i disse notater på elevernes papirer:

Ved at analysere metoderne kan man se, hvordan eleverne har benyttet forskellige algebraiske regler. Det er tydeligt, at der ikke tidligere i klassen har været undervist i brugen af en bestemt beregningsmetode, så det må formodes, at eleven, der har benyttet en af de sædvanlige korte algoritmer, har lært den andetsteds. En samtale med eleven vil afsløre, om den algebraiske side af metoden er forstået.

Læreren kan i samtale med eleverne om de forskellige beregningsmetoder bringe en begyndende sammenhæng over til den sædvanlige brug af algebraiske notationsformer på banen. Samtidig kan de forskellige opstillinger drøftes med henblik på en udvikling af hensigtsmæssige metoder. Eksempelvis er det let at blive enige om, at den lodrette opstilling af på hinanden følgende addender vil blive uhensigtsmæssig, hvis der er tale om 52 ∙ 240. Fælles for drøftelserne er at betragte hver opgave som et lille problem, der skal løses ud fra kendte regler. Senere kan mere formelle betragtninger komme på tale. Fx at

7 ∙ 240 = 7 ∙ (200 + 40)

Målet for undervisningen er, at eleverne får mulighed for at deltage i en proces, hvor de kan udvikle metoder, så udregningen gøres lettere. I processen arbejder de samtidig med generelle regler for regning med tal. Regler som senere spiller en rolle i et mere formelt arbejde med algebra.

Det vil være hensigtsmæssigt for læreren at planlægge elevernes deltagelse i udviklingen af metoder til fx multiplikation over flere år. I kapitlet med undervisningsforløb er der et eksempel på, hvordan læreren kan undervise i multiplikation over en 4-årig periode.

Arbejdet med tal og algebra kan i mange situationer støttes ved at benytte forskellige repræsentationsformer. Fx kan multiplikationen 6 ∙ 17 repræsenteres geometrisk ved et rektangel opbygget af 6 kvadrater langs den ene kant og 17 kvadrater langs den anden.

En anden mulighed vil være at bygge videre på den grundlæggende definition af multiplikation som en addition:

6 ∙ 17 = 17 + 17 + 17 + 17 + 17 + 17

Her mister man imidlertid det visuelle, det geometriske, som for mange elever udgør en væsentlig forklaringsmodel, også når det drejer sig om algebraiske forhold.

Set i en kulturel sammenhæng gav indførelsen af koordinatsystemet anledning til at knytte forbindelse mellem tal og geometri. Også i undervisningen har det vist sig, at denne sammenknytning har stor værdi for elevernes forståelse af matematikken.

En fremstilling af 6-tabellen som en grafisk afbildning af y = 6x i et koordinatsystem vil således kunne give ny indsigt. Herefter kan yderligere undersøgelser gennemføres ved at tegne grafer for y = 7x, y = 10x, osv. Der kan drages konklusioner på grundlag af sammenligninger. I dette arbejde får benyttelsen af variable en naturlig plads.

Går man videre fra multiplikationen 6 ∙ 17 til at betragte multiplikationen 6 ∙ 0,7 kan eleverne igen bygge på den grundlæggende forståelse af multiplikation som gentagen addition eller på en geometrisk repræsentation:

Men eleverne kan ikke bygge på tidligere erfaringer om, at “når man ganger, får man et større tal som resultat”. For mange elever vil det i første omgang være usandsynligt, at 6 gange noget kan blive mindre end 6. Dette er en fare ved at opbygge talarbejdet på generaliseringer, der kun gælder inden for et bestemt talområde. Det svarer til, at eleverne generaliserer og siger, at “man ganger et tal med 10 ved at sætte et nul efter tallet”. Ved 10 ∙ 17 går det jo godt, mens det ved 10 ∙ 0,7 går galt.

Er man i tvivl om, hvilke regler der gælder for en bestemt udregning, bør eleverne fra undervisningen have vænnet sig til at prøve at se nærmere på problemstillingen, så man ikke blot siger: “Jeg kan ikke huske hvordan, jeg skal gøre.” Eleverne skal opnå tillid til, at de altid kan bygge videre på deres egen grundlæggende forståelse. Det er lærerens opgave at støtte eleven i det arbejde.

At tage udgangspunkt i elevernes egne strategier og at støtte og udfordre dem, så de med forståelse udvikler en passende metode, er en udfordring for læreren. Han skal kunne tænke i udviklingstrin for den enkelte elev samtidig med at slutmålet, “ hensigtsmæssige beregningsmetoder”, er tænkt med ind. Da det jo er talforståelse, der er det centrale i udvikling af metoder, vil forskellige trinmål inden for tal og algebra og inden for kompetencer og arbejdsmåder være inde i billedet samtidigt.

Flaskeaflevering, algebra på mellemtrinnet
Dette eksempel tager udgangspunkt i, at de fleste børn på mellemtrinnet har erfaring med at få udbetalt pant, når de afleverer flasker i en flaskeautomat. Eleverne kan blive præsenteret for et fotografi af en flaskeautomat med en oversigt over de forskellige typer pant, fx:

Lille flaske: 1,00 kr.

Mellemstor flaske: 1,50 kr.

Stor flaske: 3,00 kr.

Der kan formuleres en række opgaver til elever på mellemtrinnet med udgangspunkt i flaskeafleveringen.

• Hvor mange penge gives fx for 3 store flasker? For 4? For 10? For 100?

Hvis opgaverne skal medføre algebraisk tænkning, kræver det, at de sigter på at generalisere. Over for elever på mellemtrinnet kan det være en idé at få dem til at forklare en generel fremgangsmåde for en kammerat:

• Hvordan vil du forklare en kammerat, hvor mange penge man får for en posefuld af de store flasker?
• Kan du skrive en fremgangsmåde, din kammerat kan bruge?
• På “matematiksprog” bruges der ofte et bogstav for et ukendt antal. Hvor mange penge tjener man på “et eller andet” antal flasker? På a flasker?

Opgaverne kan også (senere) komme til at medføre sammenligning af regneudtryk.

• Hvilke af regneudtrykkene herunder fortæller fx, hvor mange penge du får for 4 store flasker og 4 små flasker? Hvorfor?
  
  3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1
  4 ∙ 3 + 4 ∙ 1
  4 ∙ (3 + 1)
  12 + 4

Hvordan ville du selv beregne, hvor mange penge du får for 4 store flasker og 4 små flasker?

På de større klassetrin kan opgaverne komme til at omfatte algebraiske udtryk.

Hvilke af regneudtrykkene herunder fortæller fx, hvor mange penge du tjener på a store flasker og a små flasker? Hvorfor?

• a ∙ 3 + a ∙ 1 
• a ∙ (3 + 1)
• 4a
• 4a

Der kan også stilles opgaver, som vedrører ligningsløsning. Fx: “Min kammerat afleverede 15 store og mellemstore flasker i automaten. Han fik 36 kr. for dem, men han kan ikke huske, hvor mange der var af hver slags. Kan du hjælpe?”

Eleverne kan selv formulere flere opgaver til deres klassekammerater med forskellige sværhedsgrader ud fra idéen med flaskeaflevering.

Eleverne får mulighed for at arbejde med forskellige sider af algebraen i udfoldningen af opgaver omkring en flaskeautomat, og de får mulighed for at benytte “kendt sprog” i overgangen til “matematikkens sprog”

Trekantens areal, algebra i 6. klasse
I en sjetteklasse er eleverne i gang med at undersøge metoder til beregning af arealet i en trekant. I grupper formulerer de i fællesskab regler for de erfaringer og den indsigt, de har opnået gennem arbejdet. Eleverne er nået frem til formuleringer som disse:

Gruppe I:
“Man kan gøre trekanten til et rektangel og måle dets areal og halvere det.”

Gruppe II:
“Ved at tegne rektangel rundt om trekanten og finde halvdelen af rektanglet.”

Gruppe III:
“Længden gange bredden og : med to. Det går ikke med en skæv trekant, men hvis man deler trekanten over på midten, sådan at det bliver to rette vinkler, så kan man.”

Klassen kan herefter i fællesskab drøfte formuleringerne og derigennem skærpe opmærksomheden på, hvordan man udtrykker sig. Klassen kan i fællesskab undersøge, om grupperne formuleringer er holdbare for alle trekanter eller kun bestemte typer trekanter – og hvorfor?

Man kan tale om, hvordan en formel som T = h · g : 2 kan læses, og at den angiver en algebraisk beskrivelse af, hvordan man finder arealet T af en trekant med højde h og grundlinje g. Senere kan man gøre sig overvejelser over, hvorfor det er særlig vigtigt at beskæftige sig med arealet af trekanter.

Formler og ligninger i overbygningen
Et eksempel på, hvordan eleverne kan arbejde med at skabe sig personlig viden i arbejdet med formler og ligninger kunne være følgende, hentet fra en 8. klasse:

Eleverne har i de foregående år arbejdet med anvendelse af variable i mange sammenhænge, hvor der har været vekslet mellem beskrivelser i ord og ved hjælp af symboler, fx sammensat til ligninger.

Erfaringer viser, at der er et stort spring at foretage for eleverne, når de skal til at håndtere algebraiske udtryk i form af ligninger. Det generer eleverne, at de oplever, at der ikke er en bestemt metode, der altid er den mest hensigtsmæssige at benytte.

Efter en generel indledende samtale om ligninger blev der taget hul på det mere tekniske arbejde med løsning af ligninger. Eleverne gik uden nærmere angivelser af metoder i gang med selvstændigt at løse ligninger af forskellige typer, som antydet i dette uddrag:

I løbet af en lektion løste eleverne mellem 10 og 26 opgaver.

Metoderne, der blev anvendt var vidt forskellige. Men typisk blev ligningerne løst “baglæns”.

Fx opgave 5:

Hvis (5x – 2) skal være 8,         5x – 2 = 8
så skal 5x være 10.
Det kunne skrives sådan:         5x = 10

Hvis man så i øvrigt var klar over,
at 5x var det samme som 5 ∙ x,
så var det let at se,
at løsningen var:                         x = 2

I nogle opgaver skulle der reduceres først. Men så kunne også de løses ved overvejelser og tilbagegående regning.

Selv opgaver af denne type kunne klares:

                                                    17y + 8 – 2y = 30 + 4y

Først blev der reduceret:        15y + 8 = 30 + 4y

Herefter blev der ræsonneret til, fx at
15y og 4y på hver sin side af “ = “
måtte kunne reduceres til:     11y + 8 = 30

Hvorefter typen ligner de foregående.

Ved at bygge på forhåndskendskabet til variabelbegreb og regneregler kom eleverne langt i det tekniske arbejde med løsning af ligninger. Da de ikke havde fået præsenteret en bestemt metode, var de nødsaget til at se på den samlede symbolsammenstilling, benytte ræsonnementer, fejle og prøve igen. Dette skal ses i modsætning til et forløb, hvor nogle ligningsløsningsregler bliver præsenteret – “lægge lige meget til på begge sider af lighedstegnet”, “flytte over på den anden side af lighedstegnet” mv.

Ved den benyttede fremgangsmåde er eleverne selv med til at finde frem til metoder og regler. De er med til at opbygge deres matematiske kunnen og viden, og de får en grundlæggende metode at vende tilbage til.

Nogle elever kan med fordel fortsætte med at benytte inspektionsmetoden, hvor de “gætter” på et tal, som indsættes for den variable: Herefter regnes udtrykket ud for at se, om tallet er en løsning. Er tallet ikke en løsning, fortsættes med nye “gæt” og efterprøvninger, indtil et
resultat er nået.

På et senere tidspunkt må elever og lærer drøfte betydningen af at kunne løse ligninger efter de sædvanligt anvendte metoder. Der må tages stilling til, hvilke færdigheder i ligningsløsning de forskellige elever har behov for at tilegne sig.

Herunder må også grafiske metoder i koordinatsystemet inddrages. Fx kan løsning af ligningssystemet bestemmes ved at tegne grafiske billeder og aflæse skæringspunkters koordinater. Eksperimenterende arbejde i et computerprogram til tegning af grafer kan også give indsigt i ligningsbegrebet.

Tal som en del af kulturen
Når der i fagets formål står, at undervisningen skal medvirke til, at eleverne oplever og erkender matematikkens rolle set i en kulturel og samfundsmæssig sammenhæng, skal dette opfattes bredere end et “teknisk” anliggende.

Som et kendt og meget brugt eksempel på et tema, som har et matematikfagligt udgangspunkt, men som hurtigt fører til iagttagelser af både kunstnerisk og naturfaglig karakter, kan Fibonacci-talrækken nævnes. Talrækken: 1, 1, 2, 3, 5, 8, … vækker for mange elever umiddelbart nysgerrighed.

Er det næste tal i rækken mon 13?

Hvis ja, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Hvilken regel vil få det ottende tal i rækken til at være 21?

Eleverne kan selv fortsætte legen: Hvad sker der, hvis de to første tal i rækken hedder 0, 1,...? Undersøgelse af forholdet mellem to på hinanden følgende tal, fx 3 : 5, og sammenligning med 5 : 8 og andre efterfølgende forhold, kan give anledning til nye overvejelser.

Et andet aspekt – modellering – kan inddrages specielt i forbindelse med Fibonaccitallene. Det har vist sig, at “frøene” i solsikker, kogler, ananasfrugter m.fl. sidder i spiraler, der snor sig enten til venstre eller til højre, og at antallet af sådanne spiraler tilsyneladende altid “rammer” et tal i Fibonaccirækken.

Det er naturligvis ikke teknikken i at udregne Fibonaccirækkens tal, der er det væsentlige, eller at antallet af frøspiraler er et Fibonaccital. Det væsentlige er, at eleverne får mulighed for at opleve, hvorledes der kan arbejdes med matematik.

I dette tilfælde fører den “rene” matematik til en model, der svarer til forhold i omgivelserne. I andre tilfælde dyrkes legen med matematikken alene for dens egen skyld.

Når et barn i skolestarten prøver at tegne et hus, er det barnets forestillinger om hus, der bliver synlige på papiret. Selv om hånden er usikker, og stregerne bugter sig, er det tydeligt, at eleven forsøger at beskrive en form. Til at begynde med er det blot en firkant med døre og vinduer, som også er firkanter. Senere prøver eleven at tegne to sider af huset på tegningen – forside og gavl. Forside og gavl er tegnet som én flade. Det bekymrer ikke barnet. Døre og vinduer søges omhyggeligt tegnet ind og derefter følger ofte en kamp med en skorsten.
Form, størrelse og beliggenhed spiller ved tegningen en rolle for barnet. Og som følge af barnets mere og mere opmærksomme observationer og dets voksende evne til at gøre sig forestillinger, gennemgår børnetegningen en udvikling. Læreren skal i undervisningen udvikle elevernes begreber som form, størrelse, lighed, beliggenhed, ved siden af, ovenover, foran og imellem. I matematik kan arbejdet med geometriske begreber og tænkning forbindes såvel til forsøg på at gengive virkeligheden ved tegning som til at arbejde med brikker, computerprogrammer, sømbræt eller at bygge tredimensionelle modeller.

Den indledende geometriundervisning
Det er et grundlæggende træk ved læseplanen, at geometrien tager udgangspunkt i elevens forestillinger om og beskrivelse af den omgivende verden. Herved kan arbejdet med geometrien – på samme måde som arbejdet med tallene – tage udgangspunkt i børnenes hverdagserfaringer.

Indholdet i geometriundervisningen er beskrevet som et samspil mellem beskæftigelsen med konkrete dagligdags ting, arbejdet med den geometriske beskrivelse heraf i form af tegninger, overvejelser om sammenhængen mellem tingen og den tegnede gengivelse heraf samt en begyndende udvikling af geometriens begreber.

I de første år arbejdes der med fysiske objekter, som gøres til genstand for manipulation, iagttagelse og drøftelse. Erfaringerne med de geometriske former og figurers størrelse kan med fordel underbygges ved at lade eleverne bygge rumlige modeller og lave figurer på et sømbræt eller i et dynamisk geometriprogram på computeren. Det kan være figurer, der ligner et eller andet, eller det kan være figurer, som skal opfylde bestemte betingelser: Kan du lave en firkant, som er dobbelt så stor som denne her? Herved kan eleverne opdage, at “dobbelt så stor” kan have flere betydninger: Dobbelt så lange sider eller dobbelt så stor en flade. Det er lærerens opgave at give eleverne mulighed for at opdage og indse sådanne forskelle. Herved kan eleverne indse behovet for at udtrykke sig mere præcist.

Eksempler på aktiviteter i 1. forløb kan være:

• Tegn den rute, du går til skole.
• Byg en model af dit værelse.
• Tegn det hus, du bor i.
• Find mønstre i dine omgivelser og tegn et af dem.

I dialogen kan indgå spørgsmål som:

• Hvad fortæller din tegning?
• Kan du se på tegningen, hvor langt du har til skole?
• Hvordan kan du finde ud af, hvor langt der er i virkeligheden?
• Vinduet i dit værelse er firkantet. Er der andre firkantede ting på værelset?
• Hvilke andre former har tingene på dit værelse?
• Kan du gøre din tegning dobbelt så stor?
• Hvorfor er dit mønster symmetrisk?

Eleverne arbejder med ordning af ting efter form, størrelse og andre egenskaber, og gennem arbejdet med rumlige figurer får de mulighed for at videreudvikle deres rumlige fornemmelse.

Indledende aktiviteter med måling af afstand, flade, rum og vægt med ikke-standardiserede og standardiserede enheder er vigtige aktiviteter i den indledende geometriundervisning. Disse aktiviteter er det konkrete udgangspunkt for et senere arbejde med måling og beregning af længder, areal og rumfang.

Arbejde med geometriske modeller
Tegning er en central del af geometrien og indgår i arbejdet med geometriske modeller i hele skoleforløbet. Elevens første forsøg på at beskrive sine iagttagelser gennem tegning kan ikke i matematisk forstand kaldes geometri, men arbejdet rummer beskæftigelse med centrale begreber som form, størrelse, beliggenhed, sammenligning osv. Arbejdet med forskellige former for tegnede udtryk skal gå hånd i hånd med udvikling af de geometriske begreber, så der skabes et grundlag for en mere teoretisk opbygning af geometrien.
Arbejdet med tegning som en geometrisk model, der gengiver træk fra “den virkelige verden” i geometriundervisningen, giver læreren mulighed til følgende overvejelser.

Valg af udgangspunkt
Udvælgelse af et udgangspunkt i indskolingen vil ofte være fra elevernes egen erfaringsverden eller nære omgivelser. Senere i skoleforløbet kan undervisningen tage et konkret udgangspunkt længere væk fra elevernes nære verden, fx kan man ofte hente inspiration fra kunst, design og arkitektur. I forsøget på at lave et mønster til tekstil- eller billedkunst, i forsøget på at se og gengive mønstre i orientalsk udsmykning og i forsøget på at lave en teknisk tegning vil eleverne kunne se et mål for arbejdet, som vil kræve matematisk aktivitet i form af at benytte bestemte regler og fremgangsmåder.

Frembringelsen af det tegnede udtryk
Gennem arbejdet med at gengive træk fra virkeligheden ved tegning skal der bruges forskellige teknikker og tegneformer og hensigten er, at eleverne lærer at anvende dem. For at det kan ske, må eleven gøres opmærksom på eller selv opdage de særlige regler, som er knyttet til teknikken eller tegneformen.

Grundlæggende elementer fra geometrien vil i arbejdet med tegning kunne blive lige så synlige som i andre former for geometriundervisning: Linjer, som begrænser plane figurer, deres indbyrdes beliggenhed, parallelitet, skæring under dannelse af vinkler, figurer med typiske træk (firkant, trekant), længde, flade og rummål. Her vil anvendelsen af et dynamisk geometriprogram udvide elevernes muligheder. Fx kan midtnormalerne og vinkelhalveringslinjerne i en trekant og deres egenskaber undersøges nærmere på en relativ let,men samtidig dybdegående måde.

I de nye Fælles Mål er der ikke et selvstændigt trinmål omkring arbejdstegning, isometrisk tegning og perspektivtegning. Det betyder ikke, at disse tegneformer ikke kan indgå i arbejdet med at gengive træk fra virkeligheden ved tegning.

Vurdering af den geometriske model
De forskellige teknikker og tegneformer vil ofte “respektere” forskellige egenskaber ved den tegnede genstand. Hvilke egenskaber ved genstanden i den fysiske verden kan man genfinde på den tegnede model af den? Hvilke informationer er forsvundet? I de større klasser kan eleverne dermed komme til at undersøge og vurdere sammenhænge mellem modellen (tegningen) og virkelighedens objekt. Ingen tegnemodeller rummer alle de informationer, man kan finde, hvis man undersøger den virkelige verden.

I arbejdet med at fremstille tegninger efter givne forudsætninger fx geometriske konstruktioner er der mulighed for at inddrage ræsonnementskompetencen.

Undersøgende arbejdsmåder i geometri
Geometrien rummer mange muligheder for undersøgelser og eksperimenter. Undersøgelserne vil typisk rumme mulighed for problemløsning, fx:

• Hvor mange forskellige trekanter kan du lave på et 3 x 3 sømbræt? Hvor mange firkanter?
• Hvor mange forskellige figurer kan du bygge med 3, 4 eller 5 centicubes?
• Kan du bygge en figur, der vejer dobbelt så meget som…? Kan figuren være en kasse?

og mulighed for kommunikation, fx:

• Forklar, hvorfor du mener, disse to trekanter er ens.
• Forklar, hvorfor denne figur er et rektangel.

Undersøgelserne vil ofte være ledsaget af spørgsmål som fx:

• Hvordan går det, hvis…?
• Mon det går sådan, fordi…?

Arbejdet med areal og rumfang udgør et stort område af undervisningen, og det er velegnet til undersøgende arbejde. Det starter allerede på begyndertrinnet med undersøgelser, hvor eleverne ved dækning med brikker eller lignende søger at finde fladestørrelse. Ved måling
med fx vand eller sand kan man finde rumfanget af forskellige figurer fra elevernes hverdag.

Opmærksomheden rettes især mod overgangen fra måling med ikke-standardiserede og standardiserede enheder til beregning af forskellige typiske størrelser ved de forskellige figurer. Eleverne skal med lærerens støtte arbejde med at udvikle metoder til beregning af
omkreds, areal og rumfang af forskellige figurer. Og ligeledes med lærerens støtte skal det lede frem mod en større forståelse af geometriske begreber og generalisering af metoder til beregning. Altså hen mod, at eleven fx indser, at længden af radius i en cirkel er den eneste information, man behøver for at bestemme cirklens areal.

Udvikling af metoder til beregning af areal
Området er præget af formler. Der er mange, og de kan slås op, men det er afgørende for elevernes forståelse af, hvad formler betyder, at de kommer igennem nogle fundamentale erkendelsesprocesser.

Det begynder hos de yngste elever:

• ved at lægge to helt ens trekanter ved siden af hinanden kan man altid få en firkant,
• ved at lægge kvadratiske brikker på en rektangulær flade, som kan dækkes helt af brikkerne, kan man finde et tal, der beskriver størrelsen af fladen.

Det skal prøves mange gange og mødes i mange sammenhænge.

Eleverne opdager, at rektangler er figurer, der direkte kan måles (med kvadrat som måleenhed), og at antallet af arealenheder kan bestemmes ved multiplikation. De fleste andre figurers størrelsesbeskrivelse kan kun forstås ved ræsonnementer.

I dette tilfælde kan eleven se, at den venstre figur er 2 stor, fordi den består af to arealenheder. Trekantens størrelse på den anden figur kan gennem ræsonnement indses at være 1. Enten fordi den er halvdelen af 2, eller fordi trekanten deles op, og delene flyttes rundt, så der dannes et kvadrat, som er 1. Nogle elever kan meget tidligt foretage denne tænkning og sætte sprog på.

På tegningen herover er vist en række figurer på sømbræt.
De er samlet til denne lejlighed – ikke til en samlet
undervisningssituation. Men figurerne viser netop elevernes
mulighed for at udvikle metoder til størrelsesbeskrivelse
af plane figurer:

• Retvinklede trekanter er altid halvdelen af et rektangel
• Parallelogrammer kan altid omdannes til rektangler med samme areal
• Ikke retvinklede trekanter er halvdelen af et parallelogram.

I løbet af 4.-6. klasse kan den enkelte elev udvikle metoder, der bygger på erkendelse og indsigt, så eleven på et senere tidspunkt, hvor det lærte er glemt, vil kunne gendanne den viden, som engang blev erhvervet. I processen med denne størrelsesbeskrivelse er det afgørende, at eleverne selv udvikler et sprog, som fortæller om deres egne konklusioner. Ved at sætte elevernes forskellige sproglige
udtryk op mod hinanden, gives der mulighed for at drøfte mere præcise formuleringer, som udelukker misforståelser.

For ældre elever, hvor konkretiseringen ofte tones lidt ned, er der fortsat et behov for at skabe indlevelse i de grundlæggende begreber. Det er vanskeligt at forestille sig, at eleverne kan udvikle et størrelsesbegreb knyttet til rumlige figurer uden at have været igennem fysiske
målinger, som kan danne grundlag for beregninger – helt på samme måde som ved arbejdet med arealbegrebet

Arbejde med geometri med udgangspunkt i konkrete problemer
For såvel den syvårige som den syttenårige kan der formuleres problemstillinger, som tager udgangspunkt i konkrete objekter eller billeder af konkrete objekter. Det kan være objekter fra elevernes hverdag eller objekter, som de selv bygger. Det kan være særlige materialer fremstillet med en pædagogisk hensigt: – brikker, klodser og stænger. Det kan være særlige undervisningsmiljøer, hvor eleverne i en afgrænset verden kan gennemføre undersøgelser med et endeligt antal løsninger – fx sømbræt eller centicubes. Eller det kan være objekter, som tegnes og ændres ved hjælp at et dynamisk geometriprogram.

Det er vigtigt, at konkretiseringen er et middel og ikke et mål. Gennem arbejdet med det konkrete objekt skal eleven prøve at nå en eller anden form for erkendelse og indsigt. Det er muligt, at eleven fx vil opfatte det at fremstille en terning af kvadratiske brikker som selve opgaven, men det er lærerens opgave at være med til at udvikle problemet, så der opnås en indsigt, fx gennem spørgsmålet: Kan I fremstille en anden rumlig figur med seks flader, der ikke behøver at være kvadratiske?

Dette arbejde vil hos yngre elever foregå intuitivt, men hvis læreren gør det til hensigten for arbejdet, kan de ikke undgå at foretage overvejelser over hvilke forudsætninger, der skal være til stede, for at deres undersøgelser kan føre til et resultat. “Skal det altid være firkanter?” “Skal der være parvis lige store sider?” “Kan man lave et sekssidet legeme, som kun består af trekanter?”, osv.

For ældre elever vil opgaveformuleringen kunne tvinge eleverne ud i overvejelser af mere teoretisk karakter. Som eksempel på sådanne overvejelser gives her en beskrivelse af et sådant undervisningsforløb:

En gruppe elever i 8. klasse skal prøve at fremstille en rumlig figur, som kun består af regulære femkanter. De skal selv finde ud af, hvordan man fremstiller en regulær femkant.

Her er en undervisningssituation, hvor eleverne må støtte sig til deres erfaring og til intuition.

Forløbet kan fx være dette:

• En af eleverne tegner en femkant – tilfældigt – klipper den ud med limkanter.
• Flere femkanter bliver klippet ud – samleprocessen kan begynde.

Ingen i gruppen har opfattet opgaven som vanskelig. Det er jo let, de har prøvet noget lignende så mange gange, men: – siderne passer ikke sammen!

Eleverne er så erfarne, at de umiddelbart kan se, at de har tænkt for lidt. De må nu selv formulere de egenskaber, som læreren ellers ville have lært dem i en sætning: I en regulær femkant er alle sider lige lange og alle vinkler lige store. Deres første konklusion er lige lange sider, hvis opgaven skal kunne løses.

Nu bliver det vanskeligt at tegne en femkant med denne egenskab. Den første side tegnes let, men i hvilken retning skal den næste side tegnes? Vi kender ingen vinkler!

Eleverne har tidligere arbejdet med vinkelsummen i en trekant. Læreren behøver nu blot at give et lille skub: Prøv at dele femkanten op i trekanter. Lærerens modspil til elevernes forsøg på at løse problemet støtter deres læreproces. Det er det centrale i undervisningen.

Tal og geometri
Overskriften sigter især på de mange tilfælde, hvor geometri kan være en støtte for andre matematiske discipliner. Alle lærere har erfaret, at man ofte kan tegne sig igennem et problem, som en elev ikke forstår, fx: “En halv er det samme som to fjerdedele”.

Matematiske regler som den pythagoræiske læresætning kan vises ved geometrisk betragtning. Også ved løsning af praktiske problemer kan geometrien med fordel benyttes. Skal man fx finde ud af, hvor mange hylder af en bestemt størrelse, der kan fås ud af en plade, kan en tegning give løsningen.

Der er elever, som har lettere ved at forstå, hvad det handler om, når de får problemet præsenteret gennem en tegning. Derfor skal denne repræsentationsform også være en mulighed for alle elever. Det kan endda tænkes, at det for nogle elever vil være tegningen, som resten af elevens liv er erindringen, der giver matematisk kompetence på det abstrakte plan.

Idéen med at arbejde med tegnede regneudtryk kan udvikles langt. Eleverne på de ældste klassetrin vil kunne arbejde med opgaver som den følgende, hvis der bruges konkrete tal – for de dygtigste kan det blive til en algebraisk udfordring.

I skal “oversætte” de tre diagrammer til algebraiske udtryk.

• Vis, hvad de tre diagrammer udtrykker, hvis de forskellige længder kaldes
  
               a                               b
  ------------------------      ---------------
  
• Vis, hvad de tre diagrammer udtrykker, hvis de forskellige længder kaldes
              
               a                                       b
  ------------------------------      -----------------------
  
• Vis, hvad de tre diagrammer udtrykker, hvis de forskellige længder kaldes
  
               a                                      b
  -----------------------------      ---------------

Trigonometri
I de nye Fælles Mål er undersøgende arbejde med enkel trigonometri i forbindelse med retvinklede trekanter blevet et trinmål i 9. klasse. Emnet kræver, at eleverne har arbejdet med fx ligedannethed, målestoksforhold, retvinklede trekanter og Pythagoras’ sætning. Udgangspunktet vil være praktiske problemer, hvor eleverne får mulighed for at arbejde med afstande, der ikke kan måles på en simpel måde med et målebånd.

Eleverne i 8. klasse arbejder med at finde højden på skolens flagstang eller et træ i skoven på forskellige måder: Med redskaber som teodolit eller klinometer kan vinklen mellem stangens top og fod måles i en bestemt afstand fra flagstangen. Redskaberne kan med fordel fremstilles af eleverne. Når eleverne har målt en vinkel og afstanden hen til objektet, kan de tegne situationen på papir eller i et dynamisk geometriprogram i et passende målestoksforhold og måle højden af flagstangen. Med middelalderens jacobstav eller den simple pind kan en beregning ud fra viden om ligedannede trekanter føre frem til en beregning af højden. Udgangspunktet for at arbejde med trigonometri er altså en række praktiske eksempler, som drejer sig om retvinklede trekanter, og at der endvidere i klassen tidligere er arbejdet med ligedannethed og tegning i målestoksforhold. At introducere trigonometri forenkler disse beregninger og giver en større indsigt i sammenhængen mellem sider og vinkler i retvinklede trekanter.

Arbejdet med trigonometri kan også rumme en undersøgelse af enhedscirklen eller den retvinklede enhedstrekant. Til dette undersøgende arbejde vil et dynamisk geometriprogram være en oplagt hjælp. Gennem en sammenligning af enhedstrekanten med andre trekanter fra ovenstående praktiske situationer kan eleverne opleve, at trigonometrien kan give adgang til lette beregninger af sider og vinkler. Begreberne sinus, cosinus og tangens kan introduceres og anvendes til beregninger vha. computer og/eller lommeregner. Der arbejdes ikke med tabeller. I hovedafsnittet med undervisningseksempler gives konkrete forslag til arbejdet med trigonometri.

Dynamiske geometriprogrammer
I dag findes en række dynamiske geometriprogrammer, som gratis kan hentes på internettet. En stor del af det traditionelle arbejde med at konstruere fx trekanter med givne egenskaber vil naturligt foregå på computeren. Ligesom lommeregner og computer har fjernet behovet for træning af standardalgoritmer i forbindelse med arbejdet med tal og algebra, ændrer anvendelsen af dynamiske
geometriprogrammer i forbindelse med arbejdet med geometri også behovet for at udvikle tegnemetoder til geometriske konstruktioner på papir. Og samtidig åbnes der for mange nye muligheder for at udvide elevernes arbejde med geometrisk konstruktion, undersøgelser
med henblik på forståelse af geometriske regler og ræsonnementer.

Arbejdet med dynamiske geometriprogrammer kræver derimod ofte, at en række geometriske begreber er kendte.Med disse begreber på plads kan eleven relativt nemt konstruere en trekants omskrevne cirkel ved at tegne en trekant, herefter tegne midtnormaler og endelig
tegne cirklen med centrum i midtnormalernes skæringspunkt og med den givne radius. Herefter kan eleven ved at trække i punkter og linjestykker undersøge, hvad der sker med midtnormalerne og den omskrevne cirkel, når trekanten ændrer form.

Det interessante er ikke, at computeren kan tegne. Det interessante er derimod, at eleverne får øgede muligheder for at arbejde med tegning, undersøgelser, analyser og ræsonnementer i tæt sammenhæng.

Også i forbindelse med arbejdet med geometriske mønstre rummer computeren store muligheder på alle klassetrin. I forbindelse med et sådant arbejde er det oplagt at gennemføre ræsonnementer omkring linjer ved trekanter, cirkler, vinkler, flytninger, symmetri osv.

Computeren rummer også særlige muligheder for at arbejde i et tilsyneladende 3-dimensionalt rum, og det kunne fx være oplagt at lade eleverne stifte bekendtskab med et program af den slags. I et sådant program kan man opgive mål for rumlige figurer og meget hurtigt
sammensætte disse figurer og betragte dem fra forskellige vinkler som en perspektivtegning.

Statistik og sandsynlighed er i de nye Fælles Mål flyttet fra CKF’et Matematik i anvendelse til et selvstændigt område under CKF’et Matematiske emner.

I de mindre klasser starter arbejdet med statistik omkring indsamling af data, der vedrører eleverne selv, fx alder, højde, skostørrelser, antal søskende, antal kæledyr og fritidsinteresser, og deres nærmeste omgivelser som skolevejens længde, boligtype mv.

I en 2. klasse interesserer eleverne sig fx for trafikken på skolevejen. Der tælles biler og andre trafikanter på forskellige tidspunkter. Datamaterialet optælles og bearbejdes i tabeller og diagrammer, gerne med hjælp af en computer. I hverdagssprog formulerer eleverne, hvad man kan se af de bearbejdede data.

• Hvilke typer trafikanter er der flest af?
• Hvornår er der flest trafikanter på gaden?
• Er der forskel på, hvornår der er flest biler, og hvornår der er flest fodgængere?
• Hvorfor er det sådan?

Eleverne kan også bruge indsamlede data over en længere periode til at beskrive en udvikling, fx ved at de måler deres egen højde to gange årligt gennem flere år, ikke mindst de år, hvor de vokser ekstraordinært meget. Lignende dataindsamling kan indgå i tværfaglige forløb, fx egne idrætspræstationer over tid.

Eleverne skal også arbejde med at læse andres statistiske fremstillinger. I 6. klasse er eleverne fx blevet optaget af et diagram fra en avis, der beskriver 12-åriges medieforbrug. Selve forståelsen af diagrammet sammenlignet med avisartiklens beskrivelse af samme har medført diskussioner i klassen. Eleverne beslutter at gennemføre en undersøgelse af medieforbruget i alle skolens 6. klasser. De udarbejder et spørgeskema, som også medtager forhold, der ikke var med i avisens undersøgelse. De indsamlede data bearbejdes i et regneark. Fremlægning indebærer en sammenligning med avisens udlægning og sammenligninger mellem piger og drenge, klasserne
indbyrdes osv.

I forbindelse med projektopgaven i 9. klasse gennemfører eleverne ofte spørgeskemaundersøgelser. Det er derfor oplagt i matematikundervisningen at give eleverne mulighed for at arbejde med udarbejdelsen af spørgsmål, vurdering af deres kvalitet og validitet, optællingsmetoder og bearbejdning i et regneark eller et statistikprogram.

Udgangspunktet for at vurdere andre statistiske overvejelser vil ofte være avisernes og andre mediers anvendelse af statistik i form af skemaer og diagrammer.

Ved at indsamle data fra forskellige spil kan der dannes grundlag for overvejelser om chancer.

Et eksempel på en populær sportsgren i 2. klasse er dyreløb på baner nummereret 2–12. Hver bane skal “gennemløbes” af et dyr. På bane 2 løber fx geparden, på bane 5 koen, på bane 7 sneglen og på bane 11 elefanten osv. Eleverne spiller vinderspil med skolepenge. På skift slår eleverne med to terninger, og summen af øjnene bestemmer, i hvilken bane der rykker et felt frem. Der kan spilles flere gange, dyrene kan skifte bane, dyrene kan skiftes ud med transportmidler af forskellig art. Legen følges op med en dialog om, hvorfor det ser ud til, at banerne 6, 7, eller 8 næsten altid vinder.

• Gad vide, hvilke terningekast der kan give 5, 12, 2?
• Hvad nu, hvis terningerne er to forskellige farver… ændrer det chancerne?
• Hvad nu, hvis I prøver igen, bliver det de samme dyr, der vinder?
• Hvordan går det, hvis I laver rigtig mange kast?
• Hvad nu, hvis det er differensen, der bestemmer banenummeret?

Forløbet kan på mellemtrinnet følges op med en egentlig undersøgelse af kast med to terninger med en efterfølgende statistisk bearbejdning.

• Hvis alle i klassen har slået 50 gange, hvilken sum er så hyppigst?
• Hvordan forholder det sig, hvis alle har slået 200 gange?
• Hvordan ser det ud, når vi har ladet computeren gennemføre millioner af “slag”?

Eleverne begynder at forbinde tal mellem 0 og 1 med chancerne for at vinde i dyreløbet fra 2. klasse. På mellemtrinet forsætter undersøgelserne af forskellige former for spil.

Spil er i det hele taget et godt udgangspunkt for en dialog om chancer på baggrund af elevernes intuitive chancebegreb kombineret med deres indhøstede erfaringer gennem spillene.

I overbygningen kan dyreløbet følges op med at opbygge en simpel matematisk model over spilchancerne vha. af enkle kombinatoriske beregninger ud fra en formodning om, at terningernes udfald opfattes som ligevægtede. Eleverne analyserer og udregner sandsynligheder for forskellige chancer for at vinde i dyreløbet.

At opnå erfaring med tilfældighed og chance i eksperimenter og spil er trinmål efter 3. klasse. Her er mange muligheder for aktiviteter, og læreren må tænke på, at arbejdet med tilfældighed og chance er grundlaget for en udvikling frem mod det statistiske og det kombinatoriske sandsynlighedsbegreb som begge er mål efter 9. klasse.

I undervisningen i de større klasser indgår behandlingen af fænomener, der vedrører tilfældighed, chance eller risiko og usikkerhed. Det kan fx dreje sig om

• stikprøveundersøgelser
• lodtrækning
• forsikring
• vejrdata
• chancespil
• ekspertvurderinger
• odds.

I arbejdet med sandsynlighed sigtes der på, at eleverne opnår indsigt i de forskellige måder, sandsynligheder beregnes på:

• Som personlige vurderinger, ofte eksperter. Dette er bl.a. grundlaget for beregninger af odds i Danske Spil.
• Som en frekvensanalyse af indsamlede data (statistisk sandsynlighed). Dette anvendes bl.a. i nogle risikovurderinger.
• Som udfald, der opfattes som ligevægtede. Dette anvendes fx i forbindelse med terningespil.

I en undervisning, hvor de stoffaglige mål er fra statistik og sandsynlighed, er der tillige en mulighed for at arbejde med problembehandling og ræsonnement, samtidig med at det undersøgende arbejde er i centrum.

Beskrivelse ved hjælp af matematik
Det har altid været en begrundelse for undervisningen i faget matematik, at den praktiske anvendelse har haft en fremtrædende plads. Tekstopgaver, hvor der blev benyttet et særligt regnesprog, var førhen den typiske form, hvorunder anvendelsen blev præsenteret.

I dag taler vi om matematik i anvendelse, når et problem – større eller mindre og ofte af en vis åben karakter – behandles ved at inddrage begreber og metoder fra matematikken, oftest ved en matematisk modellering. I denne behandling kan indgå et samarbejde mellem flere
fag for at få problemstillingen belyst bedst muligt. I den første del af skoleforløbet vil det fx i mange tilfælde være naturligt, at natur/teknik og matematik indgår i flerfaglige forløb.

Forhold, der vedrører menneskeliv, natur og samfund, beskrives ofte ved hjælp af matematik. Det sker, hvad enten det er en kvantitativ beskrivelse, eller det handler om at beskrive forhold ved hjælp af tegning.

Den matematiske beskrivelse kan have forskellig karakter. Der kan være tale om, at faktiske forhold bliver fuldt ud beskrevet, at faktiske forhold bliver beskrevet ved hjælp af stikprøver, eller at en udvikling over en periode bliver beskrevet, og fremtidige forhold bliver forudsagt.

I flere af disse beskrivelsesformer indgår der overvejelser om sandsynlighed, baseret på statistik. Statistisk sandsynlighed har en stigende anvendelse i den matematiske beskrivelse.

I undervisningen kan behandlingen af selv store datamængder blive overkommelig med de muligheder it giver. Vægten kan derfor lægges på spørgsmål om at fremskaffe data, herunder elevernes egen indsamling af data i nogle situationer, samt at overveje anvendeligheden
af bestemte data. På samme måde er det vigtigt, at man i undervisningen tillægger det stor vægt at arbejde med en kritisk forholden sig til de opnåede resultater. Herved kan eleverne opbygge et beredskab, som er brugbart i andre lignende situationer.

For de ældste elever vil der i mange sammenhænge være centrale samfundsspørgsmål at beskæftige sig med. I både den trykte og den elektroniske nyhedsformidling inddrages til stadighed argumentation, som benytter matematikkens sprog: tabeller, kurver, beregninger og tegninger. Det gøres ofte, uden at denne side af argumentationen problematiseres. Ikke sjældent benyttes matematikken som sandhedsvidne.

Selv om den anvendte matematik ofte ligger ud over, hvad eleverne umiddelbart forstår eller har tid til at arbejde dybere med, så må det være en opgave at finde ud af, om fx en ukendt formel kan analyseres, så man kan få indtryk af, på hvilken måde de forskellige indgående
størrelser indvirker på beregningsresultatet.

Udvalgte emner og problemstillinger
I det følgende gives eksempler på emner og problemstillinger, hvor matematikken er i anvendelse i undervisningen.

Boligforhold

Allerede tidligt i skoleforløbet kan forhold omkring boligen indgå som et emne i undervisningen. Det er en almen erfaring, at eleverne er meget motiverede for at behandle problemstillinger, som tager udgangspunkt i deres egne boligforhold.

Hvis eleverne senere i skoleforløbet skal danne sig indtryk af, hvorfor vi bor, som vi gør, kan der blive anledning til at undersøge, hvordan vi faktisk bor i by, på land, i Danmark eller uden for Danmark. Der kan give anledning til at se på spørgsmål om hensigtsmæssig boligindretning – evt. sat i relation til traditioner herfor – og om økonomiens betydning. I forsøget på at beskrive og udvikle boliger vil der blive behov for at arbejde med tegning og beregning af areal og rumfang, ligesom der kan foretages overvejelser over økonomiske konsekvenser.

På de ældste klassetrin kan man lægge energibetragtninger ind i opgaven, og der bliver herved behov for at forstå og anvende fysikkens formler til beregningen eller selv udvikle formler.

Emnet kan udvikles, så det inddrager design og arkitektur både med hensyn til brugsredskaber, møbler, bolig og byplan – områder som kan understøtte geometri eller bruge geometri.

Trafik

De små elever kan arbejde med trafikskiltes form og måske forsøge at lave en miniudgave af skolens nære vejnet i skolegården. Eller de kan arbejde med skiltenes betydning for derved at komme til at beskæftige sig med de symboler, der indgår i beskrivelsen af forskellige
fænomener i trafikbilledet.

De større elever kan beskæftige sig med emnet trafiksikkerhed. De kan selv foretage undersøgelser eller lære at forstå og fortolke undersøgelser foretaget af officielle organer eller interessegrupper. Hvordan ville eleverne tilrettelægge den offentlige trafik i deres kommune, set ud fra deres egne interesser eller ud fra et sikkerhedsmæssigt synspunkt?

De ældste elever vil kunne overveje generelle trafikforhold: Bygning af broer og motorveje set under økonomiske eller økologiske synsvinkler. Forholdet mellem kollektiv og individuel trafik kan inddrages set i et globalt ressource- og forureningsperspektiv.

I alle disse spørgsmål vil det være undervisningens opgave at se på de kvantitative sider i forhold til de kvalitative sider.

Naturen

I mange af de emner, der gennem hele skoleforløbet kan hentes fra forhold i naturen, findes der oplagte muligheder for at inddrage matematik. Hele dette emneområde kan faktisk karakteriseres ved at have matematik som hjælpedisciplin.

Emner fra naturområdet vil i særlig grad være anvendelige i forbindelse med opbygningen af det størrelsesbegreb, som står centralt i matematikundervisningen. I hele forløbet kan eleverne gennem arbejdet med sådanne emner skabe en grundlæggende forståelse og finde begrundelser for, at de må udvikle, beskrive og definere særlige størrelsesbeskrivelser for så forskellige begreber som længde, flade, rum, vinkel, masse og temperatur – og i den senere del af skoleforløbet – arbejde, kraft, energi, fart og acceleration. For alle disse begreber spiller tallene en afgørende rolle, og ofte vil anledningen til at udvide talområdet findes gennem arbejdet med sådanne områder, hvad enten det handler om geografi, biologi eller fysik/kemi. Gennem dette arbejde kan også opstå behov for at anvende variable, formler, ligninger og funktioner.

Hvis yngre elever skal undersøge vækstbetingelserne for plantefrø ved at give dem forskellige vækstbetingelser, vil matematikken være én af mulighederne, når resultaterne af forsøget skal beskrives. Eleverne kan høste planterne og sammenligne deres længde, men ønsker de ikke at plukke de flotte blomster, så kan de overføre længden til papir ved hjælp af en snor eller direkte måle og beskrive ved tal. Nu vil næppe alle planter med samme vækstbetingelser blive lige lange, hvorved eleverne kan blive nødt til at udvikle beregninger, der svarer til gennemsnit for at foretage sammenligninger.

Arbejdet med størrelsesforhold får en mere kompleks karakter for de større elever, som i geografi arbejder med at forstå de forskellige former for kort og deres tilblivelse. De kan gennem eksperimenter være med til at udvikle den matematik, som anvendes hertil. Det gælder lige fra enkle forsøg på at beskrive skolens grundplan til forsøg på at forstå, hvorledes man på forskellige måder kan gengive den kugleformede jordklode tegnet som sider i et atlas. Andre faglige begreber end størrelse må her bringes i anvendelse.

CKF’et matematik i anvendelse kan siges at være en dialog mellem fagets teoretiske opbygning og den praktiske virkelighed. Det kan imidlertid være meget stor forskel på den vægt, som henholdsvis faglig teori og praktisk anvendelse har i forskellige undervisningsforløb. Modelleringskompetencen er central i dette arbejde, da en matematisk modellering netop er den relation vi etablerer mellem den virkelige verden og matematikken.

Matematik i flerfagligt samarbejde
I forrige afsnit er matematik i anvendelse nævnt flere gange i forbindelse med andre af skolens fag. Og matematik er da også et fag, der skal og kan anvendes i stort set alle andre fag. Derfor er det oplagt at gennemføre flerfaglige forløb, hvor matematik deltager sammen med et eller flere andre fag. Men tit er samarbejdet ikke uproblematisk. I kraft af, at matematik er skolens næststørste fag, bliver matematiklæreren ofte deltager i tværfaglige forløb, hvor matematikken har svært ved at finde sin plads eller bliver lidt kunstigt tilføjet. Hvis der skal være mere balance kræver det, at matematiklæreren er udfarende og inviterer kollegerne i de andre fag ind til et samarbejde
mellem fagene, hvor matematik er en vigtig del af arbejdet, og hvor der gives eleverne mulighed for at lære at anvende matematik og samtidig få større faglig indsigt i andre fag vha. matematikken. Ligeledes oplever lærere i andre fag, at de har brug for, at eleverne besidder nogle matematiske kompetencer. Det gælder fx praktiskmusiske fag som sløjd og hjemkundskab.

Når en matematiklærer skal invitere kolleger fra andre fag til samarbejde, skal han selvfølgelig se, hvilke mål for undervisningen i matematik, der er på det pågældende klassetrin, men også i høj grad se på, hvilke muligheder der er for forløb, hvor matematik kan understøtte læringen i andre fag, samtidig med at faglige mål i matematik tilgodeses. Her er nogle få eksempler

Eleverne i 3-4. klasse arbejder med noder i musikundervisningen parallelt med, at der i matematik arbejdes med det indledende arbejde med brøkbegrebet.

Eleverne i en 6. klasse arbejder i historie med læsning af Knud den Helliges gavebrev til Lund Domkirke i 1085. Gavebrevet opremser en lang række gårde, hvis størrelse er beskrevet i brøkdele af måleenheden boel. Opgaven er, at eleverne finder størrelsen af gavens omfang i hektarer og finder værdien af gaven efter nutidens jordpriser. Hermed får eleverne en indsigt i den sidste vikingekonges magt og rigdom samt nære alliance med kirken. Desuden udvikler eleverne deres it-kompetencer, da en del oplysninger skal hentes på internettet.

I en 9. klasse arbejder eleverne med det danske demokratiske system, og i arbejdet indgår matematikken med en gennemgang og analyse af metoderne til mandatfordelingen ved henholdsvis kommunevalg og folketingsvalg.

I hele skoleforløbet arbejder eleverne med forskellige test i idræt samt samler tal for deres præstationer. Materialet bearbejdes statistisk og bruges i den enkelte elevs personlige idrætslogbog.

I forbindelse med arbejdet med tværgående emner og problemstillinger kan det være nyttigt for matematiklæreren at gøre sig klart,med hvilken vægtning mellem teori og anvendelse matematikken indgår i et sådant forløb.

Nedenfor beskrives fem undervisningssituationer, som repræsenterer forskellige grader af anvendelsessiden af faget – helt ud til den situation, som slet ikke direkte inddrager fagets anvendelse.

Der er ikke tale om nogen rangordning af beskrivelserne. I det daglige arbejde i undervisningen vil det ofte være sådan, at det ikke klart kan afgøres, inden for hvilken beskrivelse undervisningen gennemføres. Det vil også kunne forekomme, at en undervisning starter som én type for så at bevæge sig over i en anden.

• Den problemstilling eller det emne, som man ønsker at undersøge og belyse, er af almen karakter, dvs. ikke bestemt af faget matematik. Matematik vil i et sådant tilfælde blive inddraget, når den kan bidrage til at give indsigt i emnet. Eleverne kan vælge at inddrage eller at udelade matematik, men det er som i al anden undervisning lærerens opgave at vurdere kvaliteten af arbejdet.
  Denne undervisning har ofte karakter af projektarbejde. Kvaliteten ligger i, om matematikken er vel anvendt, og om den er anvendt, hvor den burde være det.
• Et udvalgt område ønskes belyst bl.a. ved hjælp af matematik. Det kan være et særligt samfundsforhold, et naturvidenskabeligt forhold, et økonomisk forhold eller et kulturforhold. Området kan være valgt af læreren, fordi særlige sider af matematikken er særligt oplagte at inddrage i behandlingen af netop dette emne. Arbejdet med emnet og med matematikken har ligeværdige hensigter. Kvaliteten i arbejdet er derfor til stede, hvis eleven forøger sin viden og kunnen inden for både fag og emne.
• Et matematikfagligt emne søges belyst. Arbejdet med faget er den centrale hensigt, og kun de sider af praksis, som belyser den matematikfaglige hensigt, inddrages. Emnet kan fx være vækstfunktionen. Biologiske sammenhænge kan være valgt til eksemplificering, men de biologiske forhold berøres kun i det omfang, de støtter matematikken. Kvaliteten bedømmes i overvejende grad ud fra den opnåede matematikfaglige indsigt.
• Udgangspunktet er at behandle rene matematikfaglige emner som eksempelvis subtraktion, vinkler eller sandsynlighedsbegrebet. Anvendelsessiden benyttes, fx i form af tekstopgaver, udelukkende til illustration af det faglige emne. Dette kan være en støtte for elevens tankegang. Men ofte vil eleven glemme anvendelsen og søge at trække oplysningerne – ofte tallene – ud af sammenhængen og udføre de forventede regneoperationer eller tegne de krævede diagrammer. Kvaliteten vil blive bedømt på rigtigheden af talresultatet eller tegningen. Refleksioner i forhold til anvendelses siden vil sjældent være meningsfulde.
• Fagets anvendelse er helt udeladt. Hensigten er alene at udvikle forhold, som vedrører matematikken. Også ren træning af matematiske færdigheder kan indgå. Indirekte kan eleverne dog gennem den samlede undervisning have opnået forståelse for, at man må arbejde med at lære at beherske nye faglige områder for at blive bedre til at benytte matematik til løsning af praktiske
  problemer. Kvaliteten kan vedrøre alle faglige aspekter: kundskaber, færdigheder, arbejdsmåder og udtryksformer.

Matematik i anvendelse giver eleverne redskaber til at forholde sig kritisk til, hvordan medier anvender statistik og sandsynlighed ligesom det giver eleverne mulighed for at erkende matematikkens muligheder og begrænsninger som beskrivelsesmiddel og beslutningsgrundlag.

Matematik i anvendelse giver ligeledes eleverne en række redskaber, der kan bruges for at udvikle, beskrive og analysere en bæredygtig udvikling på forskellige områder.

Der har i de senere år været megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Det har tidligere været en opgave, som især dansklærerne har taget sig af, men andre fag skal nu også være med til at løfte opgaven. Faglig læsning er derfor blevet en del af CKF’et matematiske arbejdsmåder. I slutmålene står der, at undervisningen “skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at læse faglige tekster og kommunikere om fagets emner”. Alle trinmålene berører et aspekt af faglig læsning, så det er et område, der må tænkes ind i hele skoleforløbet.

Med begrebet faglig læsning sættes almindeligvis fokus på at læse for at lære. Men i matematik er der to hovedformål, der kan kalde på faglig læsning. Det ene er det nævnte formål at lære matematik. Det andet hovedformål er at kunne læse matematikholdige tekster fra dagligdagen på arbejde, i fritiden, i privatøkonomien og i samfundslivet for at skaffe oplysninger til at løse praktiske problemer vha. af matematik og for at kunne deltage i den demokratiske debat, der ofte rummer matematikrelaterede argumenter.

I folkeskolens lærebøger er begge aspekter med, idet der er udviklet en særlig genre: Lærebøger i matematik for grundskoleelever.

At læse handler dels om at afkode ordene i en tekst, men også om at forstå det læste. Læsning er en aktiv proces, hvor eleven møder matematikteksten med sin forhåndsviden om det givne indhold i teksten. Når elevens forhåndsviden aktiveres, kan der skabes mening og sammenhæng i den læste teksts informationer. En af de faktorer, der har størst betydning for, hvad elever forstår og husker af det læste, er den forhåndsviden, som eleven møder teksten med. Teksten bliver meningsfuld, når eleven formår at knytte indholdet til det, som allerede vides om emnet på forhånd. Dermed bliver det muligt for eleven at danne mentale billeder af det læste. De mentale billeder gør det muligt for eleven at tænke matematik og at udvikle begrebsforståelse.

Det er altså vigtigt, at elevens forhåndsviden aktiveres i mødet med teksten, men det er ikke nok blot at aktivere denne viden, eleven må også være i stand til at navigere rundt i teksten og finde sammenhæng mellem informationer på tværs af teksten og at ræsonnere på baggrund af den viden, eleven i forvejen har med sig. For at vælge en hensigtsmæssig læsestrategi til dette er det en hjælp at have  kendskab til genren. Et væsentligt spørgsmål er derfor, hvad der kendetegner tekster, der handler om matematik? Det er ikke realistisk at forestille sig, at alle matematiktekster kan karakteriseres på samme måde, men der er nogle kendetegn, som elever møder ofte i tekster om matematik.

Et væsentligt træk ved matematiktekster er, at de ofte består af andet end skrevne ord – det er altså tekster, der er sat sammen af forskellige dele, fx matematisk symbolsprog, skemaer, tabeller, diagrammer, figurer, “huskekasser”, “faktakasser”, fotos, tegninger m.m. De skrevne ord kan have forskellige funktioner. Det kan være berettende fortællinger, opgaveinstruktioner, ordforklaringer m.m. Der er vigtige fagudtryk, som eleverne skal kende, men der er også visse ordsammensætninger, som bruges på en bestemt måde i faget. Eksempler kan være “større end”, “mindre end”, “hvis og kun hvis”… Ligeledes har illustrationerne forskellige funktioner. Nogle skal gøre siden læsevenlig, mens andre illustrationer kan indeholde vigtige informationer eller måske ligefrem en instruktion. Det kan altså være et kompliceret, men et spændende landskab at bevæge sig rundt i for eleverne.

Hvis matematikundervisningen tager udgangspunkt i en bestemt matematikbog, kan det være en stor hjælp for eleverne at arbejde med, hvad der kendetegner matematikteksterne i netop denne bog. Det er med til at give eleverne en hensigtsmæssig læsestrategi at være bevidst om, hvordan matematikbogen er bygget op. Det kan være, at bogens kapitler indeholder forskellige sidetyper, at bestemte sider altid er bygget op på en bestemt måde, at vigtige informationer er placeret et bestemt sted osv. Derudover må læreren hjælpe eleverne til at blive bevidste om, at ordene ofte ikke skal læses alene, men skal sammenkædes med en illustration, en tabel, en graf eller lignende, ligesom elementerne kan have forskellig status. Rækkefølgen, de enkelte dele læses i, kan også være væsentlig. I matematiske tekster med figurer, skemaer, tabeller, grafer og lignende skal man ikke nødvendigvis altid læse alle informationerne. Her er det derfor vigtigt
at vide, hvordan informationerne er organiseret, så man har mulighed for at finde de informationer, der er vigtige. Det bliver dermed helt centralt at kunne vælge en læsestrategi, der er hensigtsmæssig.

Når eleverne læser i matematik, er hensigten for det meste, at de skal løse en opgave, altså ligner det andet hovedformål med faglig læsning i matematik. For at kunne løse en opgave må man vide, hvad problemstillingen er. Mange lærere møder elever, der spørger: “Hvad skal man i den her opgave?” Det kan altså være vanskeligt for elever at identificere, hvad problemstillingen egentlig er!
Her må læreren passe på med ikke altid blot at give elever forklaringer – hvis eleverne skal udvikle deres kompetence i faglig læsning af matematiske tekster, bliver de nødt til at arbejde med at udvikle hensigtsmæssige strategier. Læreren kan gå i dialog med eleven om opgaven eller opfordre eleverne til at gå i dialog med hinanden med spørgsmål som: “Prøv at fortælle med jeres egne ord, hvad der står.” “Hvilke oplysninger giver teksten jer?” “Hvor står spørgsmålet henne?” “Hvad får I at vide?” “Kan I lave en tegning af  problemstillingen?” Når eleverne med egne ord formulerer sig om problemstillingen, har de mulighed for at danne mentale billeder af problemstillingen og dernæst at vælge en løsningsstrategi, der er hensigtsmæssig. Eleverne må som aktive læsere forholde sig aktivt til problemstillingen – her er det vigtigt at kunne reflektere over problemstillingen, evt. lave et overslag og reflektere over svaret i forhold til spørgsmålet. Eleverne må blive fortrolige med den type af spørgsmål, der stilles i matematik. Det er netop kernen i tankegangskompetencen: At stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for, hvilke typer af svar som kan forventes.

Et aspekt af faglig læsning i matematik er altså, at eleverne skal lære at overskue og sammenkæde forskellige teksttyper og illustrationer på en side, finde væsentlige oplysninger, bruge dem i problemløsning og reflektere over spørgsmål og svar, men eleverne må et lag dybere endnu, når det handler om læsning af matematik. Matematikken er ofte iklædt fortællinger, illustrationer, symboler m.m., og disse forskellige dele er forskellige repræsentationer for selve matematikken.Matematikken opfattes ofte som meget abstrakt, men vi arbejder med den i de forskellige repræsentationer. Det er netop ved at arbejde med flere forskellige repræsentationer af det matematiske begreb
og danne relationer mellem repræsentationerne, at eleverne udvikler matematisk forståelse og altså lærer matematik – og det må være en stor del af formålet med faglig læsning. Repræsentationskompetence er således helt central i forbindelse med faglig læsning – matematiske tekster kan betragtes som en sammensætning af forskellige repræsentationer. Ud over, at eleverne skal kunne afkode de
skrevne ord, har matematikken altså et sprog i sig selv – et univers af repræsentationer, hvor de skrevne ord kan være ét af dem – som eleverne lærer at kende, selv skal udvikle og skal lære at udtrykke sig ved hjælp af.

I situationer, hvor eleverne skal løse et praktisk problem fra “den virkelige verden”, skal de ofte læse matematikholdige tekster, der kan sætte dem i stand til at forstå noget af den kontekst, problemet er i, og der giver dem de oplysninger, som sætter dem i stand til at løse problemet vha. matematik, fx ved at opstille en matematisk model.

Faglig læsning i overbygningen vil ofte kræve, at eleverne forholder sig til spørgsmål som:

• Hvad er læseformålet? Fx at lære noget matematik eller at løse et problem, der kræver læsning af matematikholdige tekster.
• Hvad tror du, forfatteren eller opgavestilleren vil have jer til at gøre?
• Hvad ved jeg i forvejen? Både om det emne (praktisk eller matematisk), der skal arbejdes med, og de matematiske begreber der er med i teksten.
• Hvilken læsestrategi skal jeg anvende? Hvilken læsemåde skal jeg anvende?
• Er der nogle fagord, jeg skal have forklaret? Både matematiske begreber og begreber fra teksten vedrørende det praktiske problem. Det kan gøres til “jagten på de svære ord”.
• Hvordan skal jeg holde rede på det, jeg læser? Fx notater, tegninger osv.

Ofte vil faglig læsning og problemløsning med fordel foregå i et samarbejde mellem to elever. Faglig læsning i et makkerparsamarbejde kunne foregå efter følgende “opskrift”:

• Læs teksten højt for hinanden (læseafkodning)
• Genfortæl teksten for hinanden (læseforståelse)
• Hvad handler teksten om, hvad er opgaven, og hvordan skal den løses? (elementær læsekompetence)
• Tegn et billede af opgaven (mental repræsentation)
• Hvilke løsningsstrategier kan vi bruge, og hvilken skal vi vælge (funktionel læsekompetence og matematisk kompetencer)
• Giv et overslag (hverdagserfaringer og talforståelse)
• Beregn resultatet (matematiske færdigheder)
• Sammenlign resultatet med overslaget og spørgsmålet (refleksion).

I forlængelse af faglig læsning ligger faglig skrivning. En væsentlig del af udviklingen af elevernes kommunikationskompetence er elevernes formidling af opnåede resultater i en problemløsning, formidling af opnåede indsigter osv. Dette kan ske på mange forskellige måder: Præsentationer i billede og lyd, fremlæggelse i et præsentationsprogram, gennemgang af en opgaveløsning skriftligt, en matematikrapport om et fagligt emne, osv.

I dette arbejde kan der – på linje med danskfagets procesorienterede skrivning – arbejdes med procesorienteret skrivning i matematik. Det vil ofte være knyttet til problemløsning, der skal kommunikeres skriftligt, men er også velegnet i udarbejdelsen af en rapport om et matematisk emne eller en redegørelse for opnået indsigt.

Procesorienteret skrivning hænger altså ofte sammen med “at arbejde med problemløsning i en proces, der bygger på dialog…” (slutmål i Matematiske arbejdsmåder). I trinmålene efter 9. klasse står der, at eleverne skal være i stand til at “give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt.” Og et væsentligt element i den procesorienterede problemløsning er, at eleverne benytter hinanden
som sparringspartnere og giver respons på hinandens skriftlige kommunikation omkring problemløsningen. Dette er noget eleverne skal lære gennem en grundig introduktion og med læreren som aktiv deltager i responsfasen i begyndelsen.

Arbejdet med procesorienteret problemløsning i matematik kan ofte med fordel foregå ved hjælp af dynamiske programmer, dvs. programmer, hvor matematikken kan undersøges. En sådan undersøgelse kan bestå i, at der eksperimenteres med forskellige indtastninger, og de forskellige resultater umiddelbart kan ses på skærmen og vurderes. Dynamiske programmer er programmer som
regneark, hvor cellerne udnyttes aktivt til at beregne værdier. Det er geometriprogrammer, hvor der kan trækkes og ændres i konstruktionerne, så eleverne kan forsøge sig frem mod en løsning, og det er matematiske skriveværktøjer, hvor formler, funktioner og andre matematiske udtryk kan indtastes og beregnes direkte på skærmen, igen så det er muligt at eksperimentere sig frem mod en løsning. Ofte vil elevernes arbejde i disse programmer også danne grundlag for den skriftlige kommunikation.

Arbejdet med responsen skal tilrettelægges efter den enkelte elevs forudsætninger og vil ofte foregå flere gange i et forløb opdelt i faser.

For mange elever er forberedelsesfasen den sværeste. Måske har de en idé, men de har svært ved at få den struktureret og udfoldet. Forberedelsesfasen skal derfor tages alvorligt og prioriteres tidsmæssigt. Forberedelsesfasen veksler mellem at foregå individuelt, i grupper eller fælles i klassen. Flere af elementerne i faglig læsning (se forrige afsnit) vil indgå.

For mange elever er det svært at formulere sig om noget, andre har skrevet, og at modtage kritik på det, de selv har skrevet. De har ofte vanskeligt ved at håndtere kritik og føler, der er meget på spil, når de selv skal give respons til en kammerat. De kan fx savne et sprog at formulere sig i. Læreren bør fokusere på disse situationer og hjælpe eleverne til at udvikle nogle redskaber, der sætter dem i stand til at inddrage responsfasen som en naturlig del af opgaveløsningen. Der kan i starten være konkrete responsspørgsmål, som er formuleret af læreren.

Der eksisterer i hovedsagen to typer af matematiske opgaver. Der er opgaver, der stort set kun består af tal, bogstaver og matematiske tegn, og der er opgaver, der er mere sammensat, med mange data, sproglige forklaringer, billeder og tegninger.

Den første type af opgaver giver sjældent anledning til mange diskussioner om de sproglige forklaringer i forbindelse med opgaven. Er der tale om færdighedsprægede opgaver og deres løsning, drejer diskussionerne sig mere om fx matematisk syntaks, valg af løsningsmetode og valg af, hvordan og i hvilken grad det er nødvendigt at forklare, hvorledes man er nået frem til resultatet. Er der tale om problemer som fx “Skriv 1 6 som summen af to stambrøker? Kan I finde flere? Kan I finde dem alle?” vil diskussionen dreje sig om selve problemløsningen, og den undersøgende arbejdsmåde vil komme i spil.

Den anden type af opgaver omfatter en mere sammensat proces, hvor der ofte skal foretages flere valg. Her skal eleverne forholde sig kritisk til de forelagte data og vide, hvorledes de valg, de foretager, kan have indflydelse på resultatet af de efterfølgende udregninger. Denne proces og de foretagne valg skal tydeligt fremgå af den skriftlige kommunikation omkring problemløsningen. Her er nogle eksempler:

• Valg af lånetype til finansiering af bolig, hvor en lang række af valg har indflydelse på, hvilken type lån der passer til de ønsker, en person har.
• Køb på afbetaling, hvor der skal vælges mellem forskellige afdragsmodeller.
• Lægning af fliser på en terrasse, hvor der kan vælges mellem forskellige flisetyper til forskellige priser, som kan lægges på forskellig tid og i forskellige mønstre.
• Kravene til skriftlig kommunikation omkring sådanne opgavetyper må være, at valg og proces fremgår tydeligt af kommunikationen. Processen vil ofte kunne illustreres ved fx en formel, ligning, funktion, diagram, tabel eller tegning og de tilhørende resultater. Hvorimod valg kræver en forklaring med argumenter for netop dette valg.

I responsarbejdet ligger der gode muligheder for at differentiere. Nogle elever har brug for ganske få, men meget detaljerede kommentarer for overhovedet at komme videre, mens der til andre kan stilles større og mere komplekse forslag til deres opgaveløsninger.

It spiller en stadig større rolle i folkeskolens matematikundervisning. Det er der flere gode grunde til.

For det første er det naturligt, at folkeskolen inddrager de redskaber, som er almindeligt tilgængelige til behandling af matematiskeproblemer – på samme måde som lommeregneren nu i mange år har været en integreret del af matematikundervisningen.

For det andet kan it i en række tilfælde støtte elevernes forståelse af faglige begreber – især fordi en række programmer gør det muligt for eleverne at undersøge og eksperimentere med bl.a. geometriske objekter og simuleringer af forsøg, der vedrører tilfældighed.

For det tredje kan it inddrages på hensigtsmæssige måder i elevernes arbejde med kommunikation om og med matematik. Det kan fx være it-baserede medier som tekstbehandling, matematikskriveværktøjer, præsentationsprogrammer, video og lyd og dynamiske geometriprogrammer.

Det er imidlertid ikke sådan, at it kan støtte enhver hensigt med undervisningen. Fx bør det fra forløb til forløb overvejes, hvordan anvendelsen af it harmonerer med elevernes udvikling af alsidige matematiske arbejdsmåder. Det er sjældent en hensigtsmæssig inddragelse af it, hvis det medfører, at eleverne fx kigger passivt på et interaktivt whiteboard.

It anvendes som hjælpemiddel i problemløsning og anden opgaveløsning. Med redskaber som CAS-programmer, dynamiske geometriprogrammer, funktionsprogrammer og regneark åbner der sig nye muligheder i arbejdet med matematik. Lommeregneren blev indført i 1976 i folkeskolens matematikundervisning og åbnede for, at eleverne kunne arbejde med anderledes virkelighedsnære
problemer med tal, som førhen var uhåndterlige i hovedog papirsregning. På samme måde vil it åbne nye muligheder for elevernes arbejde med matematik. I disse forbindelser kan it opfattes som et hjælpemiddel, eleverne skal udvikle kompetence til at bruge. Et fokuspunkt vil være at arbejde med it på en hensigtsmæssig og kritisk måde, således at både muligheder og begrænsninger inddrages.

Nogle af it-programmerne rummer også mulighed for at blive anvendt som læringsmiddel, fx dynamiske geometriprogrammer. En trekant og dens tre vinkelhalveringslinjer kan hurtigt og nemt tegnes. Når eleverne trækker i et vinkelhjørne, kan de se, at de tre vinkelhalveringslinjer tilsyneladende altid skærer hinanden i samme punkt. Hvorfor er det mon sådan? Elevernes undersøgende arbejde kan danne udgangspunkt for overvejelser som denne, som kræver ræsonnementer. Gør opdagelsen af vinkelhalveringslinjernes fælles skæringspunkt det muligt at konstruere trekantens indskrevne cirkel? Hvorfor? Hvordan? Som antydet kan it blive til et redskab i en undersøgende og eksperimenterende arbejdsmåde, der samtidig danner grundlag for ræsonnementer.

Brug af digitalkamera kan bringe virkeligheden ind i klasseværelset til en nærmere matematisk undersøgelse. På en tur til Københavns Hovedbanegård eller Thorvaldsens Museum kan mosaikker fotograferes og senere analyseres og gengives vha. et geometriprogram hjemme i klassen.

It skal også spille en stor rolle i elevernes kommunikation af deres arbejde med matematik, både skriftligt og mundtligt. En mundtlig præsentation kan bygges på en it-præsentation, fremvisning af en geometrisk undersøgelse af diagonaler i forskellige typer firkanter i et dynamisk geometriprogram på et interaktiv whiteboard kan dokumentere elevens konklusioner om emnet, en skriftlig redegørelse kan skrives i et matematisk skriveprogram eller et CAS-program.

Eleven kan altså udvikle sin kommunikationskompetence gennem anvendelse af en bred vifte af it og andre medier.

Endelig gør it det muligt at søge matematisk information på internettet og til selv at producere digitalt matematisk indhold til nettet. Informationer til at løse forskellige praktiske problemer med matematik kan ofte let findes på internettet, men det kræver, at eleverne lærer at forholde sig kritisk til gyldigheden af informationerne. Hvis en elev fx søger oplysninger om prisen på landbrugsjord, vil der dukke flere tusinde hints op. Eleven skal forholde sig til bl.a. årstal, region og bonitet og sætte dette i forhold til den problemstilling, tallene skal anvendes til at løse. Hvis eleven får brug for en bestemt formel eller lignende og søger efter den på nettet, vil det ligeledes give mange hits, men eleven må forholde sig til om en bestemt hjemmeside “virker troværdig” i forhold til det, der søges oplyst.

Programmer kan ofte hentes gratis på internettet og er derved ikke bekostelige at anvende.

Regneark er oprindeligt udviklet som et bogholderiprogram, men har i dag så mange muligheder, at det er blevet attraktivt at anvende i matematikundervisningen. Regnearket er meget anvendeligt til statistik, visse simuleringer, budget og regnskab osv. Regnearket er ikke lige velegnet til tegning af grafer, trigonometriske beregninger mv. Der findes talrige gratis interaktive geometriprogrammer, og selv de mere avancerede matematikprogrammer som CAS-programmer kan findes gratis på nettet.