Det har været almindeligt først og fremmest at beskrive matematikundervisningen i folkeskolen ud fra de matematiske emner, der skulle undervises i. Og det er naturligvis også en væsentlig del af beskrivelsen.Men hvis der i en læseplan kun står en opremsning af fagområder, begreber og tekniske metoder, siges der ikke så meget andet, end at matematikundervisningen går ud på at lære noget udvalgt matematik.Man indfanger ikke essensen af matematikundervisning på den måde, ligesom en ren indholdsbeskrivelse ikke fortæller ret meget om det udbytte, elever forventes at få af undervisningen. Det er altså nødvendigt ikke kun at fokusere på, hvilke
emner der undervises i, men også på, hvordan der arbejdes med emnerne, og hvilken dybere forståelse og indsigt der opnås.

I Fælles Mål er matematisk faglighed derfor beskrevet i
fire centrale kundskabs- og færdighedsområder:

• Matematiske kompetencer
• Matematiske emner
• Matematik i anvendelse
• Matematiske arbejdsmåder.

De fire CKF’er supplerer hinanden indholdsmæssigt og griber ind i hinanden. Matematiske emner og matematik i anvendelse vedrører det, der traditionelt er forbundet med undervisningens indhold. De matematiske arbejdsmåder rummer mål, der knytter sig til de måder, eleverne skal arbejde med indholdet på, og de matematiske kompetencer rummer mål, der knytter sig til matematikkens natur,  uafhængig af hvilke emner, der undervises i.

Indhold, arbejdsmåder og kompetencer vil alle tre på samme tid være elementer i en given undervisning.

Læreren kan altså både i sin planlægning og i selve undervisningen tænke ved hjælp af de tre områder (se figuren nedenfor).

I det følgende vil de tre områder blive behandlet nærmere med hovedvægt på de to nye CKF’er. De tre områder beskrives hver for sig, men deres tætte sammenhæng i undervisningen er i fokus.

De matematiske emner og matematik i anvendelse kan opfattes som undervisningens indhold. Det omfatter: Tal og algebra, geometri, statistik og sandsynlighed og matematik i anvendelse. Der er en tæt sammenhæng mellem emner og anvendelse. Den tætte sammenhæng giver eleverne mulighed for

1. at få tænkeredskaber til matematikken
2. at opleve, at matematikken ikke er et isoleret fag.

Om samspillet mellem de matematiske emner og matematikkens anvendelse står der i læseplanen på alle trin:

Undervisningen skal veksle mellem at tage udgangspunkt i

• matematikfaglige problemstillinger, hvor matematikkens anvendelse inddrages
• anvendelsessammenhænge, hvor matematikken indgår.

Det er altså tydeligt, at de matematiske emner og matematikkens anvendelse skal kædes tæt sammen i undervisningen. Ofte tages der udgangspunkt i et problem fra “den virkelige verden”, der søges løst ved hjælp af matematikken.

I andre situationer er det omvendt. Da er det de matematiske emner, der er fokus på, og “den virkelige verden”, der bruges som tænkeredskab for eleven. I denne situation er det altså ikke matematikken, der anvendes til at løse et problem uden for matematik, men “den virkelige verden”, der bruges som en slags redskab til at tænke i og skabe matematik ved hjælp af.

Ofte spiller de to tilgange sammen, så det kan være svært at skelne mellem, hvornår man lærer matematik ved hjælp af “den virkelige verden”, og hvornår man lærer om “den virkelige verden” ved hjælp af matematikken.

Et eksempel hvor matematik bruges til at løse et problem fra “den virkelige verden
8. klasse skal selv arrangere en lejrtur og herunder lægge et realistisk budget. Klassen indsamler alle relevante oplysninger om det økonomiske grundlag, finder ud af, hvad de kunne tænke sig at opleve og gøre, og hvad det koster. Et regneark konstrueres, der udarbejdes formler, der simuleres i den forstand, at eleverne afprøver, hvad der sker, hvis man ændrer på de forskellige poster i budgettet. Målet er at få budgettet til at passe, så flest mulige af elevønskerne bliver opfyldt. Efter lejrturen udarbejder klassen selv et regnskab, der er klar til revision.

Men uanset om hensigten er at udvikle matematisk forståelse eller at løse et problemuden for matematikken, så er det centrale, at det matematiske indhold i undervisningen for eleverne i høj grad er de faglige processer, hvor eleverne kan tænke ved hjælp af noget kendt. Det kendte kan være fra “verden udenom”, eller det kan være fra en fortælling, en situation eller en aktivitet.

Et eksempel hvor noget kendt fra “virkelighedens verden” bruges som tænkeredskab
Arbejdet med dette eksempel tager udgangspunkt i en oplevelse af fugletræk, som er observeret under en udflugt i natur og teknik, hvor det er tydeligt, at fuglene flyver i en vinkelformation. Eller det tager udgangspunkt i billeder af fugle, der flyver i en vinkel. Eller i en fortælling
om fugletræk, fx fra “Niels Holgersens vidunderlige rejse gennem Sverige”.

Hensigten med det matematikfaglige indhold er at arbejde med lige og ulige tal, hovedregning, variable og figurfølger. Fuglenes træk er altså et redskab til at tænke igennem og udvikle matematik ud fra.

Fuglene tegnes formelt:

Spørgsmål, læreren lader eleverne arbejde ud fra, kan så fx være:

• Prøv at tegne nogle flere fugle-mønstre. Hvordan ser det næste ud?
• Hvor mange fugle-prikker er der i mønster 3? I mønster 5? I mønster 10?
• I mønster 100?
• Kan der være 48 prikker?
• Kan to grupper forenes til én?
• Jeg har adderet to hele tal og fået et fuglemønster-tal. Hvilken slags tal har jeg adderet?

Læreren vil forberede flere spørgsmål ud fra sit kendskab til eleverne og fra sin forestilling om, hvordan eleverne ville gribe opgaven an. Lærerens forberedelse vil altså i høj grad bygge på, hvordan, han tror, eleverne vil tænke. Og i undervisningssituationen håber han yderligere at få mulighed for at udfordre eleverne ud fra, hvad de gør og tænker.

Der er altså en tæt sammenhæng mellem det matematikfaglige indhold om lige og ulige tal, hovedregning, variable og figurfølger, og selve arbejdsprocessen, hvor eleverne skal have mulighed for at undersøge ved at tegne, tænke og tale sammen. De faglige processer er knyttet tæt til det observerede fugletræk.

De måder, hvorpå eleverne arbejder med matematik, har stor betydning for kvaliteten af den faglighed, de tilegner sig. Arbejdsmåder har derfor altid fået megen opmærksomhed, både i faghæfterne og i lærerens daglige arbejde med at planlægge og tilrettelægge undervisning. Vi kan blandt andet se det i de følgende citater.

I faghæftet fra 1976 står der under overskriften “Mål vedrørende elevernes arbejdsformer”: Det må i denne forbindelse anses for at være et mål, at den enkelte elev kommer til at indtage en eksperimenterende holdning ved indlevelse i matematiske områder, som er nye for ham. Og i faghæftet fra 1995 står der under “Centrale kundskabs- og færdighedsområder”: Eleverne skal opnå et handleberedskab over for problemer, der ikke er af rutinemæssig art, og de skal være fortrolige med eksperimenterende arbejdsformer.

Det er altså ikke noget nyt, at arbejdsmåder spiller en central rolle i faghæftet. Det er en tradition i matematikundervisningen og i faghæfterne, der fortsættes i Fælles Mål, hvor arbejdsmåder er blevet et selvstændigt CKF med egne slutmål og trinmål.

Det er centralt for trinmålene på alle trin, at eleverne skal blive i stand til at deltage i udviklingen af strategier og metoder i forbindelse med de matematiske emner. Det er vigtigt, at eleverne både kan arbejde individuelt og sammen med andre, og det fremhæves, at de skal kunne arbejde eksperimenterende og undersøgende. I alle disse mål indgår dialogen som en central arbejdsmåde. Hvordan arbejdsmåderne realiseres i undervisningen, er selvfølgelig helt forskelligt i en 1. klasse og i en 9. klasse. Lad os se på et eksempel i en 2. klasse.

Et eksempel på planlægning med arbejdsmåder i fokus
En lærer på 2. klassetrin har valgt, at emnet for en periode er store tal og positionssystemet. Læreren arbejder ud fra følgende mål:

At eleverne bliver i stand til at kende de naturlige tals opbygning og ordning, herunder titalssystemet.

Det er altså meget klart fra start, hvad eleverne skal arbejde med. Men hvordan de skal arbejde, kræver flere overvejelser. Når læreren tænker i arbejdsmåder, er der typisk både praktisk-pædagogiske overvejelser og faglige og didaktiske overvejelser inde i billedet.

I læseplanen står der:
Dialogen er et vigtigt redskab i de matematiske arbejdsmåder. Igennem dialogen skal eleverne have mulighed for at ræsonnere.

Læreren tænker:

“Det er vigtigt at arbejde med positionssystemet. Det er jo det, hele talforståelsen bygger på. Eleverne skal snakke sammen om det, så de kan udfordre hinanden.

De får hvert et trecifret tal. De går rundt i klassen og viser en kammerat deres tal og fortæller, hvad der står, og hvor mange 1’ere, 10’ere og 100’er, der er”. Lærerne vælger altså at inddrage dialogen.

Andre spørgsmål, læreren forbereder, kunne være:

• Kan du finde en makker, der har det samme antal enere? Tiere? Hundreder?
• Kan du finde en makker med tallet, der er 1 større? 10 større? 100 større?
• Kan du finde en makker, så forskellen mellem jeres tal er 2? 20? 200?
• Kan du finde en makker, så summen af jeres tal er 1000?
• Kan I stille jer i rækkefølge efter størrelse?

I læseplanen står der:
Undervisningens indhold skal vælges, så eleverne får mulighed for at deltage i udviklingen af metoder og arbejde eksperimenterende og
undersøgende.

Og læreren tænker i andre aktiviteter:

“Man kunne jo lade dem tælle mange små ting, fx klips og bønner. Så skal de selv finde ud af, hvordan de vil tælle og holde styr på, hvor mange der er. Og så vil der jo nok være nogle af dem, der vælger 10’er bunker. Det vigtigste er, at de ved, hvad problemet er, og at de finder måder at løse det på. Jeg må prøve at udfordre deres strategier undervejs, fx ved at tælle med remser 2, 4, 6,… eller 5, 10, 15, 20,…, og jeg må prøve at være opmærksom på, hvilke strategier de i øvrigt har, og udnytte dem”

Aktiviteterne knyttes til mål for arbejdsmåder, men også problembehandlingskompetencen stikker hovedet frem. Det kommer næsten af sig selv, men det er bevidstheden om det, der fastholder det som et mål. Lærerne vil altså støtte eleverne i det problemløsende frem for at få dem hurtigt frem til et resultat.

Det er her centralt, at det emnefaglige indhold, kompetencerne og arbejdsmåderne spiller sammen og påvirker hinanden gensidigt. Det er altså ikke bare sådan, at læreren vælger et matematisk emne og derefter tænker, hvilke arbejdsmåder der kan komme i spil. Det er også sådan, at påvirkningen kan gå den anden vej: læreren styres af mål for arbejdsmåder, når han/hun vælger indholdet. Hvis læreren fx tager udgangspunkt i, at eleven skal arbejde med problemløsning i en proces, der bygger på dialog, må indholdet jo vælges, så der faktisk er en problemstilling at løse. Og denne problemstilling må være velegnet til dialog.

Og læreren tænker videre:
“Jeg synes jo, de skal bruge centicubes og 10’er stænger og 100’er plader. Og penge. Ja, i det hele taget alle de repræsentationer, vi kan finde på.” Læreren beslutter, at eleverne i grupper skal

finde ud af, hvordan de talte bønnerne og klipsene og finde frem til, hvor mange der var

finde mindst to måder at repræsentere dem på

til slut fælles fortælle de andre, hvilke resultater de havde fået, hvordan de var kommet frem til resultatet, og hvordan de havde valgt at vise, hvor mange der var.

Hele denne planlægningsfase kan illustreres med modellen fra før, hvor de elementer, der blev vigtige i dette forløb, er skrevet ind.

Dialogen er vigtig mellem eleverne, når de indbyrdes finder
ud af, hvordan de tæller alle disse bønner. Der skal
laves strategier. Men dialogen er også vigtig mellem
læreren og eleverne, for det er ofte i dialogen, læreren
kan udfordre eleverne. Nogle af de spørgsmål, læreren
kunne stille for at udfordre videre her, kunne fx være:

• Hvad er egentlig store tal?
• Kan tal blive større end noget med hundreder?
• Hvis jeg nu tager dobbelt så mange, som I har, hvor mange har jeg så?
• Og dobbelt så mange igen?
• Hvordan skal jeg kunne skrive de store tal?
• Så må jeg også have fat i tusinder! Hvordan gør jeg det?

Det er ofte dialogen i forbindelse med det undersøgende arbejde, der differentierer undervisningen. Det er her, talforståelsen ofte udvikler sig i spring. Det dobbelte af 304 kan let lade sig gøre. Men hvad nu med det dobbelte af 367? Mange niveauer kan være til stede side om side, blot i måden spørgsmål bliver stillet på. Det er spændende at udforske tallene, både for lærer og elever.

Arbejdsmåder spiller altså en væsentlig rolle for, hvordan den faglige samtale – og dermed den faglige læring bliver. Men selv om vi i dette eksempel har haft fokus på arbejdsmåderne, var det alligevel tydeligt, at kompetencerne var i spil. Hvordan de kan spille en rolle som det tredje element i undervisningen, beskrives i næste afsnit.

At beskrive matematisk faglighed uden brug af den traditionelle pensumtænkning kom for alvor ind i den fagligdidaktiske tænkning i 2002, da der i Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie udkom en rapport, der forsøgte at beskrive matematisk faglighed ved hjælp af kompetencebegrebet. Rapporten hed “Kompetencer og matematiklæring. Idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark”, i daglig tale kaldet “KOM-rapporten”.

Her defineres matematisk kompetence som det at “have viden om, at forstå, udøve, anvende og kunne tage stilling til matematikvirksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge, hvori matematik indgår eller kan komme til at indgå”. Og her beskrives de 8 kompetencer, der bruges i Fælles Mål.

Om de enkelte matematiske kompetencer siger “KOMrapporten”:

“En matematisk kompetence er en indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematisk udfordring”.

Der opereres med i alt otte kompetencer, der deles i to grupper således:

Ofte gives en visuel fremstilling af kompetencerne ved hjælp at det, der kaldes kompetenceblomsten:

Denne grafiske model skal bl.a. signalere, at de enkelte kompetencer ikke er skarpt adskilt, men “overlapper” og spiller sammen.

I trinmålene efter 3., 6., 9. og 10. klasse og i slutmålene er beskrevet, hvilke dele af de enkelte kompetencer der lægges vægt på i arbejdet på de forskellige trin. Og i læseplanen er beskrevet, hvordan de spiller sammen med det matematiske indhold og arbejdsmåder.

KOM-rapportens symbol- og formalismekompetence bliver i Fælles Mål 2009 kaldt symbolbehandlingskompetence.

De 8 kompetencer indgår allerede i dag som centrale elementer i undervisningen.

Kommunikation og problemløsning har stået centralt i faghæftet for matematik siden 1995, hvor de to kompetencer blev et selvstændigt CKF. Lærere har ydermere altid været optaget af at finde forskellige repræsentationer for matematiske begreber. De har arbejdet med konkrete ting, og de har fortalt historier, der skulle skabe forestillinger, eleven kunne tænke igennem, altså repræsentationer. Ting at tælle, enerbrikker, 10-stænger og 100-plader, centicubes og sømbræt er almindelige hjælpemidler. Ræsonnement og symbolbehandling er centrale dele af faget og har altid været det. Hvem kan forestille sig en matematikundervisning uden “hvis-så-sætninger”? Og hvem kan forestille sig en matematikundervisning uden a’er og b’er og x’er og y’er?

At arbejde med kompetencer er altså ikke nyt for læreren. Men der er et langt skridt fra at have enkelte kompetencer inde i billedet af og til, og så til at lade kompetencetænkningen være en del af undervisningen hver dag og at sætte mål for fagligheden ved hjælp af kompetencerne.

Det er idéen, at arbejdet med kompetencerne og med de faglige emner er vævet tæt sammen, så eleverne, mens de lærer om fx brøker, samtidig bliver dygtige til at løse problemer, at ræsonnere og at repræsentere brøker og regning med brøker på mange forskellige måder. Og at de bliver i stand til “at forstå og anvende” brøker og arbejde med brøker “i en mangfoldighed af sammenhænge”.

At kompetencerne nu er blevet en del af trinmålene i faghæftet, betyder altså, at der i arbejdet med de faglige emner og kompetencerne skal nås en større indsigt i matematisk tankegang, problemløsning og ræsonnement, så eleverne har “en indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer specifikke matematiske udfordringer”.

Om arbejdet med kompetencer står der i læseplanen blandt andet:

Den kompetencebaserede beskrivelse af matematisk faglighed er et alsidigt redskab i planlægningen og gennemførelsen af undervisningen på alle klassetrin.

I planlægningen fungerer kompetencebeskrivelsen dels til at fastsætte de dele af undervisningens mål, der vedrører de matematiske kompetencer, dels til valg af indhold.

I gennemførelsen fungerer beskrivelsen dels til at vælge forskellige tilgange til det samme indhold, dels til at perspektivere indholdet.

Det er altså vigtigt, at kompetencebeskrivelsen er inde i billedet både i lærerens forberedelse og i selve undervisningen. Og det er vigtigt, at den spiller sammen med de faglige emner.

Kompetencerne er både udtryk for matematisk faglighed og for matematiske arbejdsmåder. Lad os fx tage de to kompetencer problembehandling og kommunikation. En lærer, der i sin forberedelse tænker, at det er vigtige mål at sætte for undervisningen, har jo dermed også valgt noget om arbejdsmåder. Det er nødvendigt at få mulighed for at tale sammen om matematik. Og det er nødvendigt i dialogen at finde frem til, hvori problemet består, og hvordan man mon kan løse det. Kompetencetænkningen får altså indflydelse på arbejdsmåden.

Lad os tage en lærer, der vil arbejde med brøkbegrebet i en 4. klasse. Og lad os forestille os, at han/hun samtidig har som mål, at eleverne skal blive gode til at repræsentere brøker på forskellige måder for derigennem at få en bedre forståelse for brøkbegrebet. Når først de to beslutninger er truffet, følger næsten automatisk et mål for måder at arbejde på. Læreren har jo med sin beslutning om at arbejde med forskellige repræsentationer også sagt, at eleverne skal kunne arbejde aktivt med konkrete materialer, it og tegninger. Når læreren i sin planlægning målsætter repræsentationskompetencen, kommer han/hun altså samtidig til at pege på og målsætte nogle arbejdsmåder.

Og flere kompetencer følger lige i hælene. Hjælpemiddelkompetencen er i spil, og kommunikationskompetencen er oplagt at fokusere på, når de forskellige repræsentationer er inde i billedet.

Kompetencemålene vil virke tilbage på valget af faglige elementer, for når læreren/eleven har valgt forskellige repræsentationer af fx og , vil nogle af repræsentationerne være velegnede til at forlænge og forkorte samt begyndende addition og subtraktion af brøker, mens andre repræsentationer ikke vil være så oplagte i den sammenhæng.

Læreren planlægger med kompetencerne
Lad os gå lidt tættere på lærerens planlægning med kompetencerne. Om kompetencebeskrivelsernes betydning for lærerens planlægning af mål og indhold står der i læseplanen:

Undervisningens mål og indhold skal give eleverne mulighed for at bygge videre på de matematiske kompetencer, som de allerede har ved skolestart, og som de efterhånden videreudvikler i skolen. Læreren må således overveje i planlægningen, hvordan mål og indhold tager hensyn til forskellige elevers forudsætninger og potentialer. Oftest vil det være hensigtsmæssigt at vælge “brede” mål og et “bredt” indhold for klassen som helhed, mens der til de enkelte elever kan knyttes mere specifikke forventninger.

Det er ofte hensigtsmæssigt at vælge aktiviteter, hvor flere kompetencer kommer i spil på samme tid. Sådanne aktiviteter kan bl.a. have
form af undersøgelser, lege, spil og problemløsningsopgaver. Aktiviteterne skal rumme problemstillinger, der giver eleverne mulighed for at inddrage konkrete materialer og andre uformelle repræsentationsformer samt giver anledning til dialog om og med matematik. På den
måde sigtes mod elevernes udvikling af problembehandlings-, repræsentations- og kommunikationskompetence.

En lærer, der planlægger sin undervisning, må altså planlægge ud fra at inddrage både det emnefaglige område og det kompetencefaglige område i sin måltænkning.

Lad os se på et eksempel, der kunne bruges på såvel begyndertrin som mellemtrin og afsluttende trin.

Et eksempel: Overfladen af stænger

• Lav en stang af fem centicubes. Hvor stor er overfladen?
• Hvor stor er overfladen af en stang lavet af 10 centicubes?
• Hvor stor er overfladen af en stang lavet af n centicubes?

Om selve opgaven – emnefagligt og kompetencefagligt
Opgaven handler om flere ting på én gang. Helt overordnet er der et problem, der skal løses: Hvordan finder man overfladen på centicube-stænger af forskellig længde?

Rent geometrisk handler opgaven om overfladen af en stang. Hvad betyder overflade? Hvor stor er overfladen? Hvordan finder man den? Kan der laves en regel?

Samtidig handler opgaven om at arbejde undersøgende, systematiserende og ræsonnerende.

Og hvis man kaster sig ud i at finde overfladen af mange centicube-stænger, er det svært ikke at føle trang til at finde en regel for, hvordan man finder overfladen. Nu handler opgaven altså også om at generalisere.

Desuden er det oplagt at inddrage symbolbehandling, når man har fundet en regel.

Om lærerens forberedelse – ud fra “lærerens 3 tankebobler”
Lad os se på, hvordan læreren kunne tænke på både geometri,
kompetencer og arbejdsmåder i sit forberedelsesarbejde.
Hvordan kunne det rent praktisk foregå?

• Allerførst må læreren begive sig ind i problemet og gå i gang med at løse opgaven. Det er helt grundlæggende: Mens man selv løser opgaven, opdager man ikke bare, hvad løsningerne er, men også hvordan man kan arbejde for at finde dem. Forskellige læringsstrategier og muligheder dukker op, når man selv arbejder med problemstillingen. At arbejde med opgaven for egen   fornøjelse og at gribe de tanker, der kommer undervejs, er en væsentlig del af forberedelsen
• I arbejdet med opgaven bliver læreren opmærksom på, hvilke centrale matematiske områder der er mulighed for at sætte fokus på. Lærerens måltænkning i planlægningsfasen kunne fx rumme følgende tanker.

Eksempler på geometriske mål kunne være:

1. At få styr på, hvad overfladen af en rumlig figur er
2. At vide, hvad det vil sige at finde, hvor stor overfladen er, altså arealbegrebet på en rumlig figur
3. At finde overfladen
4. At finde en regel for, hvordan man finde overfladen
5. At tænke videre til andre rumlige figurer: kasser, andre prismer, cylindere osv.

Eksempler på kompetencefaglige mål kunne være:

1. At kende typer af spørgsmål, der kan stilles, fx: Hvad vokser overfladen med, når stangen bliver 1 centicube større?
   Hvis overfladen på en centicube er 6, hvorfor er den så ikke 12, når stangen er på 2 centicubes? (tankegangskompetence)
2. At gå i gang med at løse problemet “på én eller anden måde”, fx:
   At give sig til at tælle og skrive resultatet op
   At systematisere og generalisere: “Den vokser med 4 hver gang og begynder med 6” (problemløsning og tankegangskompetence)
3. At kunne håndtere “oversætte” fra hverdagssprog til symbolsprog, fx:
   Stangen på 5 centicubes har jo 5 “mavebælter” på 4 hver og så én i hver ende. Det bliver 5 ∙ 4 + 2 (symbolbehandlingskompetence)
   Stangen på nmå altså være n ∙ 4 + 2 (symbolbehandlingskompetence)
4. At kunne ræsonnere, fx:
   Overfladen er 6 på hver af klodserne, så hvis der er n klodser, så skulle overfladen være 6n. Men der forsvinder jo 2 overflader hver gang to centicubes sættes sammen, og det sker (n – 1) gange, så det bliver 6n – (n – 1) ∙ 2 (ræsonnementskompetence og symbolbehandlingskompetence)
5. At kunne se forbindelsen mellem forskellige repræsentationsformer, fx:
   O = 4n + 2
   O = 6n – (n – 1) ∙ 2
   Begynd med 6 og læg 4 til hver gang.

Eksempler på mål inden for arbejdsmåder kunne være at

1. arbejde undersøgende med at udvikle metoder
2. undersøge, systematisere og begrunde matematisk med mulighed for at inddrage konkrete materialer og andre repræsentationer
3. samarbejde med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger
4. arbejde problemløsende i en proces, hvor andres forskellige forudsætninger og idéer inddrages.

Som det ses, hænger arbejdsmåder tæt sammen med kompetencer, og fokus på det ene vil næsten automatisk “kaste noget af sig” i forhold til det andet. Lærerens tre tænkebobler griber ind over hinanden, som modellen neden for viser.

Om undervisningen med kompetencer
Det kan virke overvældende med alle de mulige mål. Men læreren, der kender sin klasse, vil netop differentiere i forhold til de enkelte elever.

Blandt klassens elever kan der altså eksistere forskellige mål på samme tid. For nogle elever vil det være en passende udfordring at beskrive, at “overfladen vokser med 4 hver gang”. For andre vil det være en passende udfordring at beskrive overfladen som 4 ∙ n + 2. Der vil også være elever, der skal udfordres til at lede efter og sammenligne flere forskellige repræsentationer.

At differentiere kræver jo netop, at læreren har flere mulige mål i forhold til den samme problemstilling og det samme emne, og her er kompetencerne en fin hjælp. Den lærer, der står midt i undervisningen og skal støtte en elev videre i processen, kan ofte bruge andre repræsentationer, kan prøve at stille spørgsmål på en anden måde, kan bruge andre hjælpemidler, osv.

At læreren i sin planlægning har kompetencerne for øje som en del af elevens mål, giver derved ekstra muligheder for at støtte elevens læringsproces. De kompetencer, som er et mål for eleven, er netop de kompetencer, læreren kan bruge til at hjælpe eleven.

Der vil også ofte ske det, at undervisningen tager en anden drejning, end læreren først havde tænkt. Elevernes løsninger kaster nye muligheder af sig, som læreren griber.