På disse klassetrin bygger undervisningen i stadigt stigende grad på den viden og kunnen, som eleverne har opnået i skolesammenhæng, men elevernes matematikrelevante erfaringer fra hverdagen skal stadig have mulighed for at spille en rolle i undervisningen.

Eleverne arbejder både mundtligt og skriftligt, på egen hånd og i samarbejde med andre på at udbygge kompetencer, viden og kunnen. Det er lærerens opgave at planlægge og gennemføre en undervisning, der sigter på, at de enkelte elever fortsat udvikler deres intuitive matematikforståelse til matematisk begrebsdannelse. I dette forløb bliver elevernes selvstændige tilegnelse af nye faglige områder og en alsidig anvendelse af allerede kendte faglige områder gradvist mere central i undervisningen.

I planlægningen må læreren have indhold, kompetencer og arbejdsmåder i spil på samme tid. Der sigtes på den måde mod udvalgte målsætninger fra flere CKF-områder i samme undervisningsforløb. Det er derfor vigtigt, at målsætningerne kan “spille sammen”. For eksempel kan et undervisningsforløb i 7.-9. klasse, der indholdsmæssigt sigter på elevernes udvikling af metoder til ligningsløsning,
på samme tid sigte mod elevernes udvikling af problem- og symbolbehandlingskompetence og på elevernes evner til at samarbejde med andre om at løse problemer ved hjælp af matematik.

Den kompetencebaserede beskrivelse af matematisk faglighed er et alsidigt redskab i planlægningen og gennemførelsen af undervisningen på alle klassetrin.

I planlægningen fungerer kompetencebeskrivelsen dels til at fastsætte de dele af undervisningens mål, der vedrører de matematiske kompetencer, dels til valg af indhold.

I gennemførelsen fungerer kompetencebeskrivelsen dels til at vælge forskellige tilgange til det samme indhold, dels til at perspektivere indholdet.

Kompetencebeskrivelsernes betydning for lærerens planlægning af mål og indhold og for lærerens tilgange og perspektiver på indholdet i undervisningssituationen uddybes i det følgende.

Undervisningens mål og indhold skal give eleverne mulighed for at bygge videre på de matematiske kompetencer, de har erhvervet i og uden for skolesammenhæng. Det må således overvejes i planlægningen, hvordan mål og indhold tager hensyn til forskellige elevers
forudsætninger og potentialer. Oftest vil det være hensigtsmæssigt at vælge “brede” mål og et “bredt” indhold for klassen som helhed, mens der til de enkelte elever kan knyttes mere specifikke forventninger.

Det vil ofte være hensigtsmæssigt at vælge aktiviteter, hvor flere kompetencer kommer i spil på samme tid.

Sådanne aktiviteter kan bl.a. have form af undersøgelser, rent faglige og anvendelsesorienterede opgaver og projekter. Aktiviteterne skal rumme problemstillinger,der giver eleverne mulighed for at inddrage både uformelle repræsentationsformer og formelle repræsentationsformer samt allerede etableret viden og kunnen.

Aktiviteterne må give anledning til at anvende matematik og til at indgå i dialog om og med matematik. På den måde sigtes mod elevernes udvikling af problembehandlings- , repræsentations- og kommunikationskompetence.

Det er især igennem dialogen i forbindelse med ovennævnte type problemstillinger, at læreren kan udfordre elever, der arbejder med det samme faglige indhold, på forskellige måder. I den forbindelse kan kompetencebeskrivelserne med fordel betragtes som forskellige tilgange til og perspektiver på det samme indhold. Fx kan en elev, der arbejder med at undersøge sammenhængen mellem vinkler og sidelængder, udfordres på både problembehandlings-, repræsentations- og kommunikationskompetencen ved, at læreren stiller åbne spørgsmål, der sigter på de forskellige kompetencer.

I spørgsmål til den enkelte elev kan læreren tage udgangspunkt i netop denne elevs forudsætninger og potentialer.

Det er igennem arbejdet med ovennævnte type aktiviteter, at eleven, med lærerens støtte, får mulighed for efterhånden at videreudvikle tankegangs- og ræsonnementskompetence, herunder skelne mellem definitioner og sætninger og forstå, gennemføre og vurdere matematiske ræsonnementer.

Det er ved fortsat at arbejde med forbindelserne mellem uformelle repræsentationsformer og matematiske symboler, at eleven efterhånden videreudvikler symbolbehandlingskompetence. I løbet af 7., 8. og 9. klassetrin stilles efterhånden større krav til de enkelte elevers korrekte brug og forståelse af matematisk symbolsprog.

Problemløsning, dialog og alsidig anvendelse af repræsentationer kan fortsat betragtes som udgangspunktet for undervisningen. I løbet af 7., 8. og 9. klasse stilles der større krav til elevernes anvendelse og forståelse af matematisk modellering og kritiske vurdering af løsninger.

Eleverne udbygger deres fortrolighed med anvendelse af lommeregner og it, så disse hjælpemidler kan understøtte deres arbejde med matematik på en hensigtsmæssig måde.

Arbejdet med tal og algebra
Eleverne introduceres til de reelle tal igennem arbejdet med problemstillinger, hvor de rationale tal ikke slår til ved løsningen. Denne udvidelse af talområdet giver anledning til nye undersøgelser af tallenes egenskaber og samspillet mellem regningsarterne, herunder regningsarternes hierarki.

Undersøgelserne omfatter på 7.-9. klassetrin bl.a.

• tallenes indbyrdes størrelse
• geometrisk repræsentation af regneregler
• potenser og rødder

omskrivning og reducering af algebraiske udtryk.

I elevernes udforskning af de reelle tals egenskaber skelnes mellem regler, der følger af definitioner og vedtagelser, som regnehierarki og notationsformer.

Tallenes historiske udvikling inddrages.

Eleverne udvikler fortsat beregningsmetoder med henblik på øget talforståelse. I dette forløb lægges vægten på udvikling af metoder til brøkregning, procentregning og ligningsløsning. Arbejdet omfatter både hovedregning, regning med skriftlige notater og brug af lommeregner.

Brøker anvendes i de naturlige sammenhænge, de optræder i. Omfanget af regning med brøker afpasses under hensyn til brugen af dem i forbindelse med ligningsløsning og andre algebraiske emner.

Arbejdet med algebra har forskellige retninger

• i forbindelse med undersøgelser af forandringer og strukturer i talmønstre sigtes mod algebra anvendt til elevernes beskrivelse af generaliseringer
• i forbindelse med løsning af ligninger sigtes mod algebra anvendt som redskab til problemløsning
• i forbindelse med arbejdet med funktioner sigtes mod algebra anvendt som beskrivelse af sammenhænge.

Algebra indgår desuden i forbindelse med anvendelse af
formler.

Koordinatsystemet skal for eleverne fremstå som et redskab til at forbinde algebra og geometri. Funktioner repræsenteres både algebraisk som forskrifter og geometrisk som grafer i koordinatsystemet. I arbejdet med funktioner indgår desuden repræsentationsformer som tabeller og hverdagssproglige beskrivelser.

Beskrivelse af både lineære og ikke-lineære sammenhænge indgår i forbindelse med funktionsbegrebet. Desuden indgår begreberne ligefrem og omvendt proportionalitet. Arbejdet med funktionsbegrebet skal foregå i nært samspil med praktiske problemstillinger fra dagligliv, samfundsliv og naturforhold. It kan med fordel anvendes i udforskningen af sammenhængen mellem funktionsforskrifter og grafer.

Arbejdet med geometri
Arbejdet med geometri tager udgangspunkt i virkelighedens objekter og fænomener, i geometriske former og deres egenskaber samt i den viden og kunnen, eleverne tidligere har opbygget.

Ved at give eleverne mulighed for at fremstille skitser og tegninger under givne forudsætninger, og beskrive, undersøge og vurdere sammenhænge mellem tegning (model) og tegnet objekt, skabes baggrund for dialog om og med geometriske metoder og begreber, herunder størrelsesforhold og linjers indbyrdes beliggenhed.

It anvendes til tegning af og eksperimenter med geometriske figurer.

Arbejdet med at undersøge metoder til beregning af omkreds, areal og rumfang blev påbegyndt på mellemtrinnet og fortsættes i dette forløb. Det er stadig vigtigt, at eleverne arbejder undersøgende med egne uformelle strategier og med lærerens støtte formulerer metoder til beregningerne. Her vil der være mange repræsentationer i spil, og problemløsning vil være en central del af arbejdet. Eleverne kan undersøge metoder til arealberegning af parallelogrammer, trapezer og cirkler.

Arbejdet med undersøgelser og eksperimenter vægtes generelt højt i geometrien, og der sigtes igennem forløbet i højere og højere grad på elevernes evne til at systematisere, generalisere og argumentere.

Arbejdet med målestoksforhold, ligedannethed og kongruens danner baggrund for trigonometrien, der bygger på elevernes undersøgelser af sammenhængen mellem vinkler og sidelængder i retvinklede trekanter. It og lommeregner indgår i dette arbejde, hvorimod der ikke sigtes på anvendelse af tabeller.

Det er vigtigt, at arbejdet med trigonometri knyttes tæt til konkrete aktiviteter, så det bliver tydeligt, at det er en bekvem beregningsmåde, der knytter vinkler og sider i en retvinklet trekant sammen.

Hvor man på mellemtrinnet fx kan arbejde med at finde højden af en flagstang ved at måle afstanden hen til den og vinklen op til toppen og derefter tegne i et passende målestoksforhold, så kan man nu med samme konkrete udgangspunkt beregne højden vha. af trigonometri.

I arbejdet med måling og beregning sigtes både på løsning af praktiske og teoretiske problemstillinger og på elevernes forståelse af de formler, der indgår, herunder Pythagoras’ sætning. Bl.a. dette sigte giver mulighed for at arbejde med enkle geometriske argumenter og beviser.

Geometri inddrages som repræsentation i forbindelse med arbejdet med algebraiske sammenhænge. Dette arbejder sigter bl.a.mod omskrivning og reduktion af algebraiske udtryk og omfatter

• en geometrisk fremstilling af a(b+c) som et rektangel med siderne a og (b+c)
• en geometrisk fremstilling af (a+b)2 som et kvadrat med siden (a+b).

Geometri forbindes desuden med tal og algebra ved anvendelse af koordinatsystemet, der i dette forløb blandt andet bruges til at undersøge sammenhænge mellem funktionsforskrifter og de tilhørende grafer.

Arbejdet med statistik og sandsynlighed
Eleverne undersøger og fortolker statistiske beskrivelser, bl.a. som de benyttes i medier og i andre fag. Der fokuseres bl.a. på sammenhængen mellem den måde, resultaterne fremstilles på, og den måde de opfattes på. Desuden tilrettelægger og gennemfører eleverne selv enkle statistiske undersøgelser. Dette arbejde kan være en del af en projektorienteret og tværfaglig undervisning.

Sandsynlighedsbegrebet indgår bl.a. i forbindelse med behandling af datamaterialer. Vægten lægges således på det statistiske sandsynlighedsbegreb.

Ved at anvende simuleringsprogrammer i forbindelse med chancesituationer vil eleverne få mulighed for at arbejde med opgaver, hvor de kan uddrage information fra programmets statistikker. Med sådanne programmer vil eleverne også kunne få indsigt i de store tals lov ved at erfare stabiliteten i resultater fra lange eksperimentserier.

I undervisningen indgår behandlingen af fænomener, der vedrører tilfældighed, chance eller risiko og usikkerhed. Eleverne skal erfare, at udsagn om tilfældighed og chance kan basere sig på

• indsamlede data
• et antal udfald, der opfattes som ligevægtede
• personlige vurderinger.

Det er ikke altid muligt – og det opleves heller ikke altid som nødvendigt – at bestemme sandsynligheder på baggrund af indsamlede data. I sådanne situationer kan eleverne basere deres vurderinger på optælling af mulige udfald, der betragtes som ligevægtede. På den måde indgår også elevernes kombinatoriske overvejelser. Der sigtes ikke direkte på anvendelsen af kombinatoriske formler.

I forbindelse med beregning af sandsynlighed er enkle modeller som diagrammer, krukkemodeller og chancetræer gode hjælpemidler.

Arbejdet med sandsynlighed forudsætter ikke en formel faglig opbygning med egen symbolik. Der tilsigtes et præcist,men ikke formelt sprogbrug.

Undervisningen skal veksle mellem at tage udgangspunkt i

• matematikfaglige problemstillinger, hvor matematikkens
  anvendelser inddrages
• anvendelsessammenhænge, hvor matematikken indgår.

Matematik i anvendelse betragtes således dels som et område, hvor de matematiske emner kommer i spil, dels som et område, hvor matematikkens anvendelse danner grundlag for indsigt og erkendelse.

I forløbet fokuseres på matematikkens anvendelse inden for dagligdagen og problemstillinger knyttet til samfundsmæssig udvikling, som kan give eleverne nye former for indsigt i andre fagområder, fx i biologi, i kunst og i andre tværfaglige sammenhænge.

Undervisningen skal i begyndelsen af forløbet forankres i overskuelige forhold fra hverdagen og senere tage udgangspunkt i problemstillinger, der i højere grad er knyttet til den samfundsmæssige udvikling. I takt med, at eleverne gradvis møder mere komplicerede problemstillinger, øges kravene til en mere bevidst brug af de matematiske kompetencer i arbejdet med problemstillingerne.

Undervisningen skal give eleverne mulighed for at bruge matematikken som et redskab til at behandle problemstillinger knyttet til dagligdagen og den samfundsmæssige udvikling, herunder økonomi, teknologi og miljø. Eleverne skal arbejde med matematiske modeller, fx formler og funktioner, samt anvendelse af enkle matematiske modeller i forbindelse med brug af it til undersøgelser og beskrivelser af samfundsmæssige forhold.

Eleverne skal arbejde med

• dagligdagens indkøb, transport og boligforhold
• lønopgørelser og skatteberegninger
• rentebegrebet, fx i tilknytning til opsparing, låntagning og kreditkøb
• miljø, teknologi og levevilkår, fx energiforbrug, affald og ressourcer
• simuleringer og statistiske beskrivelser.

Eleverne skal have mulighed for at deltage i udviklingen af metoder, undersøge, systematisere og ræsonnere matematisk samt veksle mellem praktiske og teoretiske overvejelser ved løsningen af matematiske problemstillinger.

Ræsonnementer og abstraktioner præger i stigende grad dette arbejde, og mere præcise faglige og sproglige beskrivelser kan benyttes til at redegøre for tankegange og som led i kommunikationen.

I arbejdet med geometri vil der være mange muligheder for at formulere hypoteser og gennemføre ræsonnementer.

Der indgår eksempler på, hvordan variable og symboler kan benyttes til at bevise regler og sammenhænge i matematikken.

Arbejdsformerne skal omfatte gruppearbejde og projektarbejde, hvor en af hensigterne er, at eleverne samarbejder med andre om at løse problemer ved hjælp af matematik. Sådanne arbejdsformer giver ofte anledning til, at eleverne formulerer resultater af den faglige indsigt,
der er opnået ved mundtlige og/eller skriftlige præsentationer.

Arbejdet med de matematiske arbejdsmåder baserer sig især på arbejdsformer, som bygger på dialog, men også på elevernes personlige refleksion.

Faglig læsning og anvendelsen af informationer, der indeholder faglige udtryk, indgår i arbejdet igennem hele forløbet.